Esta inquietud se puede resolver de diversas formas, pero te dejamos la que para nosotros es la resolución más completa.
Solución:
El efecto Ehrenfest-Tolman es una especie de física de “temperatura = velocidad del tiempo”. La física se basa en el vector Killing $K^a$ con $|K|~=~sqrtg_abK^aK^b$. La temperatura es entonces $T|K|~=~const$. Esta física entonces funciona para espacio-tiempos que permiten Matar campos vectoriales.
Para pensar en esto, consideremos el agujero negro de Schwarzschild con $K^tpartial_t$ $=~sqrt1~-~r_s/r$, con $r_s~=~2GM/c^2$. Ahora considere el gradiente de temperatura $nabla T~=$ $frac12|K|^-1$ y podemos ver que $$ fracnabla TT~ =~frac12frac11~-~r_s/rfracr_sr^2~=~g/c^2, $$ donde $g$ es la gravedad. Este es el mismo resultado que el resultado en la página 121 del libro de Wald. Esto da el resultado newtoniano para la gravedad con $r~>>~r$.
El resultado $fracnabla TT~=~g/c^2$ es la distancia del horizonte $d~=~g/c^2$. Podemos pensar en este resultado termodinámico como una expresión de la dilatación del tiempo. La fórmula de Shannon-Khinchin $S~=~-ksum_nrho_nlog(rho_n)$ define el estado térmico estadístico $Omega$. Esto se ve fácilmente si $rho_n~=~1/n$ entonces $$ S~=~-ksum_n=1^Nfrac1nlogfrac1n ~=~k~log(N), $$ donde $N$ es el estado del conjunto estadístico $Omega$. Para observables $O~in~cal O$ definimos un flujo $phi:cal O~rightarrow~cal O$ según $$ fracdphi(O) ds~=~S,~O~=~O,~log(Omega), $$ tal que $Omega~=~e^-H/kT$. La ecuación de evolución ahora se puede escribir de acuerdo con el hamiltoniano $H$ con $$ fracdphi(O)ds~=~O,~log(Omega)~=~frac 1kTO,~H, $$ que nos dice que $fracdds~=~frac1kTfracddt$ . Esto conecta el tiempo propio, que vemos que también es un tiempo térmico, $s$ con un tiempo hamiltoniano $t$.
Entonces, el efecto Unruh-Hawking y los resultados Tolman-Ehrenfest están estrechamente relacionados entre sí. Ambos implican la conexión entre la relatividad general y la temperatura. El resultado de Tolman-Ehrenfest vincula esto con la idea de “velocidad del tiempo”.
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