Solución:
El problema es porque está utilizando AnchorPane como su panel raíz. Sin embargo, puede usar AnchorPane para escenarios como este, yo personalmente no lo prefiera porque necesita hacer muchas cosas para hacerlo bien. Hay formas más fáciles de hacer y eso es lo que les mostraré.
De los Javadocs:
AnchorPane permite anclar los bordes de los nodos secundarios a un desplazamiento de los bordes del panel de anclaje.
Solución
Utilice un diseño diferente. Puede ser un GridPane o VBox. Estos diseños tienen alineación infantil en lugar de anclajes, lo que permite alinear a los niños en una posición particular.
Para cambiar el tamaño de sus hijos, puede establecer la propiedad HGrow / VGrow en ellos.
Ejemplo
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<?import javafx.geometry.*?>
<?import javafx.scene.control.*?>
<?import javafx.scene.layout.*?>
<VBox alignment="CENTER" maxHeight="-Infinity" maxWidth="-Infinity" minHeight="-Infinity" minWidth="-Infinity" prefHeight="400.0" prefWidth="600.0" spacing="20.0" style="-fx-background-color: DARKCYAN;" xmlns="http://javafx.com/javafx/8.0.40" xmlns:fx="http://javafx.com/fxml/1">
<children>
<Label text="Easy Doctor" />
<TextField promptText="Username" />
<TextField promptText="Password" />
</children>
<padding>
<Insets bottom="50.0" left="50.0" right="50.0" top="50.0" />
</padding>
</VBox>
Aquí hay un pequeño gif sobre cómo se ve:
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