Después de observar en diferentes repositorios y páginas webs de internet al concluir hemos hallado la resolución que te enseñamos ahora.
Solución:
Cada número $ n> 1 $ es divisible por algún primo $ p $ (que incluye el caso $ n = p $). Suponga lo contrario y sea $ n $ el número más pequeño. Como este $ n $ no es primo, tiene un divisor no trivial $ d $ con $ 1
Todos los números son de la forma $ 4n $, $ 4n + 1 $, $ 4n + 2 $ o $ 4n + 3 $. Esto es también true para primos $ p $, pero $ p = 4n $ no es posible y $ p = 2n $ solo para $ p = 2 $. Aquí, hemos excluido $ p = 2 $ así como $ p = 4n + 3 $ por construcción, lo que deja solo los números primos $ p = 4n + 1 $.
Esta prueba falla para $ p = 4n + 1 $ porque un número de la forma $ 4n + 1 $ bien puede ser el producto de dos números de la forma $ 4n-1 $. Por ejemplo $ 3 cdot 7 = 21 $. Por lo tanto, el paso de que al menos un divisor debe ser de la forma $ 4n + 1 $ falla.
Por tanto, es divisible por primo (¿Cómo llegaron a esta conclusión?).
¡Todos los números enteros son divisibles por algún primo!
Entonces, cada primo que divide a N debe ser de la forma 4n + 1 (¿Por qué debe ser de esta forma?).
Debido a que asumimos que $ p_1, dots, p_k $ son los solo primos de la forma 4n + 3. Si ninguno de esos divide N, y 2 no divide N, entonces todos sus factores primos deben ser de la forma 4n + 1.
“¿Por qué falla una prueba de este sabor para los números primos de la forma 4n + 1? (Esta es mi última pregunta).
¿Puedes hacer esto tú mismo ahora? (¿Entiendes cómo funciona la contradicción en la prueba que tienes? ¿Qué sucede si multiplicas dos números de la forma 4n + 3?)
Pregunta 1: Cualquier número entero es divisible por un número primo (en realidad, ni siquiera necesita toda la fuerza del teorema de factorización única; esto se puede demostrar por inducción).
Pregunta 2: No es divisible por ninguno de los números primos de la forma $ 4n + 3 $ (es decir, $ p_1, ldots, p_k $, que asumimos que son todos ellos), y no es divisible por $ 2 $ porque es extraño. Por lo tanto, cualquier número primo que lo divida debe tener la forma $ 4n + 1 $.
Pregunta 3: Multiplicar un número par de cosas de la forma $ 4n + 3 $ juntas da algo de la forma $ 4n + 1 $.