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Solución:
La idea de una prueba matemática es que sin dependencia de una entrada específica, si ciertas propiedades son true, entonces la conclusión también es true.
En este caso, si la composición es inyectiva, entonces tiene que ser que la función “externa” sea inyectiva, y si las funciones son sobreyectivas, entonces su composición es como tal.
Mostrar un caso específico es un método válido para refutar una afirmación, ya que muestra que en un momento determinado las propiedades se mantienen pero la conclusión es false.
Por ejemplo, considere $ A = 0 $ y $ B = 1,2 $ y $ C = 0 $ y $ f (0) = 1 $ y $ g (1) = 0, g (2) = 0 $.
La composición $ g circ f $ es una función de $ A $ a $ C $, ya que $ A $ es un singleton, toda función es inyectiva. Sin embargo, $ g $ claramente no es inyectivo.
Este es un contraejemplo de la afirmación, por lo que la refuta.
La prueba para el segundo, si ambas funciones son sobreyectivas, entonces también lo es su composición, comprobemos esto.
Sea $ A, B, C $ cualquier conjunto y $ f, g $ funciones según sea necesario. Para mostrar que $ g circ f $ es sobreyectiva, queremos mostrar que cada elemento de $ C $ está en el rango de $ g circ f $. Suponga que $ c en C $ entonces hay algún elemento $ b en B $ tal que $ g (b) = c $. Como $ f $ es sobreyectiva, tenemos algunos $ a en A $ tales que $ f (a) = b $. De ello se deduce que $ g circ f (a) = c $ y, por lo tanto, la composición de las funciones sobreyectivas es sobreyectiva.
Ahora, considere esta prueba. No había nada que nos limitara. No necesité nada de $ A, B, C $ que no sean conjuntos, y no solicité nada de $ f, g $ que no sean funciones desde / hacia el conjunto requerido en la premisa de la reclamación. Además, no verifiqué la sobreyectividad de la composición eligiendo un determinado elemento. Elegí y arbitrario elemento, de un conjunto que también fue arbitrario. El uso de este tipo de argumento nos asegura que la propiedad no depende de ninguna de las características del conjunto (por ejemplo, algunas cosas son solo true en conjuntos finitos, infinitos u otros determinados). Esto nos permite tener una muy general teorema. Siempre que tengamos tres conjuntos y dos funciones que sean sobreyectivas entre ellos, ¡entonces la composición también es sobreyectiva!
Teorema. Si $ n $ es un número, entonces $ n ^ 2 = 2n $.
Prueba. Establezca $ n = 2 $. Entonces $ n ^ 2 = 4 $ y $ 2n = 4 $. Por lo tanto $ n ^ 2 = 2n $.
… Espera un segundo. Para $ n = 3 $ tenemos que $ 3 ^ 2 = 9 $, pero $ 2 cdot 3 = 6 $ y $ 6 neq 9 $. ¡Entonces la declaración no es válida después de todo! ¿Puedes ver lo que salió mal?
Lo mismo se aplica a sus declaraciones. En lugar de probarlos en un caso particular, debe probarlos para cada posible $ f $ y $ g $ que se te ocurran.
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Aquí hay algo de ayuda con el caso (b), le sugiero que deje de leer después de cada paso y trate de completar la prueba usted mismo. Si no funciona, lea la siguiente sugerencia.
- Tenemos que demostrar que $ g circ f $ es sobreyectiva. Da cualquier $ c en C $, debemos mostrar que hay algo de $ x en A $ tal que $ g (f (x)) = (g circ f) (x) = c $.
- Sabemos que $ g $ es sobreyectiva, por lo tanto, existen algunos $ b en B $ tales que $ g (b) = c $.
- Sabemos que $ f $ es sobreyectiva, por lo tanto, existen algunos $ a en A $ tales que $ f (a) = b $.
- Ahora $ c = g (b) = g (f (a)) $.
- Concluimos que tal $ x $ existe de hecho, es precisamente el elemento $ a $ el que hemos construido.
Consideremos el enunciado a).
Esto se interpreta como
Si $ f: A a B $ y $ g: B a C $ son funciones tales como $ g circ f $ es inyectiva, entonces $ g $ es inyectiva.
Si esta declaración fuera a ser true,
significa que para ningún funciones $ f, g $ tales que $ g circ f $ es inyectiva deber sea el caso de que $ g $ sea inyectivo.
Lo que ha hecho se muestra un ejemplo específico de $ f $ y $ g $ para los cuales esto es true.
Así que básicamente has probado:
Existen algunos $ f $, $ g $ de manera que $ g circ f $ y $ g $ sean inyectables.
Considere la declaración:
“Si un perro tiene cuatro patas, entonces tiene cola”.
Para probar esto, tienes que demostrar que cada el perro que tiene cuatro patas también tiene cola.
Lo que ha hecho es que acaba de tomar un ejemplo específico de un perro …
Ahora bien, si la declaración hubiera sido
“Ningún perro de cuatro patas tiene cola”.
Luego, al demostrar un perro de cuatro patas con cola, has refutado esa afirmación.
Entonces, si puede encontrar un caso específico de $ f $, $ g $ tal que $ g circ f $ es inyectivo, pero $ g $ no lo es, entonces tiene una prueba válida (llamada prueba por contraejemplo) de que el declaración es false.
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