Después de de una larga recopilación de datos resolvimos este asunto que presentan ciertos los lectores. Te brindamos la solución y nuestro deseo es resultarte de gran ayuda.
Solución:
Una base ortonormal para $ L ^ 2 ([0,1], mathbb R) $ (el espacio de funciones integrables cuadradas de valor real en el intervalo PS[0,1]PS) es $ 1, sqrt 2 cos (2 pi nx), sqrt 2 sin (2 pi nx) $ por $ n = 1,2,3, … $. Estas funciones se pueden escribir como (convergencia en $ L ^ 2 $, muchos detalles omitidos):
$$ f (x) = a_0 + sum_ n = 1 ^ infty a_n cos (2 pi nx) + b_n sin (2 pi nx) $$
dónde $ a_0 = int_ [0,1] f (x) , dx $, y para $ n geq 1 $$$ a_n = 2 int_ [0,1] f (x) cos (2 pi nx) dx, quad b_n = 2 int_ [0,1] f (x) sin (2 pi nx) dx. $$
La ortonormalidad de las funciones base se establece mostrando que
$$ int_ [0,1] cos (2 pi nx) sin (2 pi mx) dx = 0, $$$$ int_ [0,1] cos (2 pi nx) cos (2 pi mx) dx = 0 text if n neq m, 1/2 text if n = m, $$$$ int_ [0,1] sin (2 pi nx) sin (2 pi mx) dx = 0 text if n neq m, 1/2 text if n = m, $$
por lo que son ortonormales con respecto al producto interior
$$ langle f, g rangle = int_ [0,1] f (x) g (x) dx. $$
Puede aprender mucho más si encuentra una buena referencia. La mayoría de los libros de ecuaciones diferenciales cubren las series de Fourier hasta cierto punto para proporcionar soluciones a las ecuaciones de calor / ola / laplace (por ejemplo, Boyce y DiPrima). Aquí hay algo aleatorio de Google que muestra las relaciones de ortogonalidad (no sé si es bueno).
Como se indica en la definición de la serie de Fourier, cualquier función T-periódica se puede escribir como una combinación lineal del conjunto $ B = 1, cos ( frac 2 pi T x), sin ( frac 2 pi T x), cos ( frac 4 pi T x), sin ( frac 4k pi T x) , … cos ( frac 2n pi T x), sin ( frac 2n pi T x) $. Entonces $ B $ abarcan el espacio vectorial de funciones periódicas T, por lo que $ B $ es la base. Todavía no sé si esta base es ortonormal.
Definimos $ gc_k = cos ( frac 2k pi T x) $ y $ gs_k = sin ( frac 2k pi T x) $, entonces $ B = 1, gc_1, gs_1, gc_2, gs_2, …, gc_n, gs_n $.
Bien, ahora definamos el producto escalar del espacio vectorial de funciones periódicas T:
Para cualquier función T-periódica $ f (x) $ y $ g (x) $: $ f bullet g = int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) g (x) dx $
Esto es muy similar al producto escalar vectorial regular: obtienes una suma del producto de sus coordenadas relacionadas …
Bien, ahora tenemos una base y un producto escalar. Pero tenemos que comprobar que nuestra base es una base ortonormal (recuerde que necesitamos vectores unitarios para calcular la proyección a través del producto escalar). Gracias a nuestro nuevo producto escalar, podemos comprobar si 2 vectores son ortogonales y podemos calcular la norma de un vector.
Base ortonormal
Calculemos ahora el producto escalar entre cada función (vector) de la base $ B = 1, gc_1, gs_1, gc_2, gs_2, …, gc_n, gs_n $:
$$ int _ – T / 2 ^ T / 2 cos ( frac 2k pi T x) cos ( frac 2m pi T x) dx = begin cases 0, text if k neq m \ frac T 2 text if k = m end cases $$
$$ int _ – T / 2 ^ T / 2 sin ( frac 2k pi T x) sin ( frac 2m pi T x) dx = begin cases 0, text if k neq m \ frac T 2 text if k = m end cases $$
$$ int _ – T / 2 ^ T / 2 cos ( frac 2k pi T x) sin ( frac 2m pi T x) dx = 0 $$
- Obtenemos $ gc_k bullet gs_m = 0 $, $ gc_k bullet gc_m = 0, k neq m $ y $ gs_k bullet gs_m = 0, k neq m $ esto significa que cada función (vector) de nuestra base es ortogonal con cada otra función (vector) de la base. Entonces B es ortogonal.
- También obtenemos $ gc_k bullet gc_k = gs_k bullet gs_k = frac T 2 = lVert g_k rVert ^ 2 $, esto significa que las funciones no son vectores unitarios, por lo que nuestra Base no es ortonormal . Observe que $ g_0 bullet g_0 = int _ – T / 2 ^ T / 2 dx = T $
Entonces, para que nuestra base sea ortonormal, cada vector debe dividirse por su norma ($ lVert gc_k rVert = sqrt frac T 2 $, $ lVert gs_k rVert = sqrt frac T 2 $ y $ lVert g_0 rVert = sqrt T $):
$ B ‘= frac 1 sqrt T, sqrt frac 2 T cos ( frac 2 pi T x), sqrt frac 2 T sin ( frac 2 pi T x), sqrt frac 2 T cos ( frac 4 pi T x), sqrt frac 2 T sin ( frac 4k pi T x), …, \ sqrt frac 2 T cos ( frac 2n pi T x), sqrt frac 2 T sin ( frac 2n pi T x) $
Coordenadas en la base
Ahora que tenemos una base ortonormal, podemos proyectar $ f (x) $ en cada función de la base a través del producto escalar y luego obtener las coordenadas de $ f (x) $ en esta base:
$$ fc_k = f (x) bullet gc’_k (x) = sqrt frac 2 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) cos ( frac 2k pi T x) dx $$
$$ fs_k = f (x) bullet gs’_k (x) = sqrt frac 2 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) sin ( frac 2k pi T x) dx $$
$$ f_0 = frac 1 sqrt T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) dx $$
Ahora tenemos las coordenadas $ (f_0, fc_1, fs_1, fc_2, fs_2, …, fc_n, fs_n) $ de f (x) en la base, por lo que podemos escribir la siguiente combinación lineal:
$$ f (x) = f_0g_0 + sum_ k = 1 ^ infty fc_k cdot gc’_k (x) + sum_ k = 1 ^ infty fs_k cdot gs’_k ( x) $$
$ f (x) = ( frac 1 sqrt T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) dx) frac 1 sqrt T + \ sum_ k = 1 ^ infty ( sqrt frac 2 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) cos ( frac 2k pi T x) dx) sqrt frac 2 T cos ( frac 2k pi T x) + \ sum_ k = 1 ^ infty ( sqrt frac 2 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) sin ( frac 2k pi T x) dx) sqrt frac 2 T sin ( frac 2k pi T x) $
Si reagrupamos los términos $ sqrt frac 2 T $, finalmente obtenemos la serie de Fourier:
$$ f (x) = c + sum_ k = 1 ^ infty a_k cos ( frac 2k pi T x) + sum_ k = 1 ^ infty b_k sin ( frac 2k pi T x) $$
$$ c = frac 1 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) dx $$
$$ a_k = frac 2 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) cos ( frac 2k pi T x) dx $$
$$ b_k = frac 2 T int _ – T / 2 ^ T / 2 f (x) sin ( frac 2k pi T x) dx $$
Encontrará el enfoque completo aquí:
https://xaviergerphagnon.com/2017/11/03/fourier-series/
https://xaviergerphagnon.com/2017/11/03/the-fourier-transform/
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