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Solución:
Recuerda que, por cada $ngeqslant1$, $$ bar x_n=frac1nsum_k=1^nx_k, $$ y $$ barsigma^2_n=frac1nsum_k=1 ^n(x_k-bar x_n)^2=frac1nsum_k=1^nx_k^2-(bar x_n)^2. $$ Por lo tanto manipulaciones algebraicas simples a partir de las identidades $$ (n+1)bar x_n+1=nbar x_n+x_n+1, $$ y $$ (n+1)( barrasigma^2_n+1+(bar x_n+1)^2)=n(barsigma^2_n+(bar x_n)^2)+x_n+1^2 , $$ lleva a $$ bar x_n+1=bar x_n+fracx_n+1-bar x_nn+1, $$ y $$ barsigma^2_ n+1=barsigma^2_n+(bar x_n)^2-(bar x_n+1)^2+fracx_n+1^2-barsigma^ 2_n-(bar x_n)^2n+1. $$ Por lo tanto, $(n,bar x_n,x_n+1)$ producen $bar x_n+1$ y $(n,barsigma^2_n,bar x_n,bar x_ n+1,x_n+1)$ produce $barsigma^2_n+1$.
Hay dos problemas en la respuesta anterior, el primero es que la fórmula para la varianza es incorrecta (consulte la fórmula a continuación para ver la versión correcta) y el segundo es que la fórmula para la recursión termina restando números grandes, casi iguales.
La definición de estimaciones imparciales de la media ($bar x$) y la varianza ($sigma^2$) para una muestra de tamaño n son: $$ bar x_n=frac1nsum_k=1^nx_k, $$ y $$ barsigma^2_n=frac1n-1sum_k=1^n(x_k-bar x_n)^2 $$
Definir las variables de recursión
$$ M_n = n bar x_n=sum_k=1^nx_k, $$ y $$ S_n = (n-1)barsigma^2_n=sum_k=1^n(x_k- bar x_n)^2 $$
La relación de recurrencia para $M_n+1$ es obvia $$ M_n+1 = M_n + x_n+1 $$ y la relación de recurrencia para $S_n$ se obtiene a través de $$ S_n+ 1 = (x_n+1-bar x_n+1)^2+sum_k=1^n(x_k-bar x_n+1)^2fantasmaXXXXXX \ phantomS_n+1 = (x_n+1-bar x_n+1)^2+sum_k=1^n(x_k-bar x_n+ barra x_n-bar x_n+1)^2\ phantomS_n+1XXXXXXXXXX = (x_n+1-bar x_n+1)^2+sum_ k=1^n(x_k-bar x_n)^2+2(bar x_n-bar x_n+1)sum_k=1^n(x_n-bar x_n) + sum_k=1^n(bar x_n -bar x_n+1)^2\ $$ Y dado que $$S_n = sum_k=1^n(x_k-bar x_n) ^2$$ $$sum_k=1^n(bar x_n-bar x_n+1)^2 = n(bar x_n-bar x_n+1)^2$ $ y $$sum_k=1^n(x_k-bar x_n) = 0$$ esto se simplifica a $$ S_n+1 = S_n+(x_n+1-bar x_n +1)^2 +n(bar x_n -bar x_n+1)^2 $$
Ahora, esta relación de recurrencia tiene la buena propiedad de que $S_n$ es una suma de términos al cuadrado y, por lo tanto, no puede ser negativa. Escritas en términos de $M_n$ y $S_n$, las relaciones recursivas son: $$ M_n+1 = M_n + x_n+1 $$ $$ S_n+1 = S_n+left(x_ n+1-fracM_n+x_n+1n+1right)^2 +nleft(fracM_nn -fracM_n+x_n +1n+1right)^2 $$ y podemos simplificar aún más la relación de recurrencia para $S_n$ a begineqnarray S_n+1 &= S_n + left(frac n x_n+1-M_nn+1right)^2+nleft(fracM_n-n x_n+1n(n+1)right)^ 2\ &=S_n+ left(1+frac1nright)left(fracn x_n+1-M_nn+1right)^2\ &=S_n+ frac (n x_n+1-M_n)^2n(n+1) endeqnarray
Entonces tenemos las relaciones de recurrencia simples: $$ M_n+1 = M_n + x_n+1 $$ $$ S_n+1 = S_n + frac(n x_n+1- M_n)^2n(n+1)$$
con la media dada por $$bar x_n = frac1n M_n$$ y la estimación imparcial de la varianza está dada por $$sigma_n^2 = frac1n+1S_n$$.
Si posees alguna perplejidad o forma de regenerar nuestro reseña te invitamos realizar una explicación y con gusto lo analizaremos.