Solución:
Algunos, pero no muchos, los servidores FTP admiten SITE EXEC command. Puede ingresar eso en FileZilla usando Servidor> Ingresar comando personalizado. P.ej:
SITE EXEC tar -zxvf myarchive.tar.gz
Aparte de FTP, FileZilla solo admite el protocolo SFTP, que no tiene ninguna forma de ejecutar comandos en el lado remoto.
Aunque es común que si tiene un acceso SFTP, también tenga un acceso de terminal SSH. Algunos clientes SFTP (pero no FileZilla) tienen una función de terminal incorporada que le permite ejecutar comandos a través de una sesión de terminal SSH que se abre sin problemas con las mismas credenciales que utilizó para SFTP.
Por ejemplo, en WinSCP, vaya a Comandos> Abrir terminal:
Incluso puede guardar el comando y reutilizarlo fácilmente.
Con el protocolo FTP, puede ejecutar el SITE ... comando desde la misma ventana.
(Soy el autor de WinSCP)
Como señala este enlace, la respuesta a la pregunta sigue siendo no. Para ejecutar comandos de shell remotos, use un cliente ssh.