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Solución:
Es cierto que no estoy familiarizado con las integrales de productos, pero creo que la ruta de interpretación geométrica es en vano.
Estoy tratando de expresar esto en términos de unidades: si $ f $ y $ x $ se miden en pies, la suma de Riemann nos da lo que esperaríamos para nuestra interpretación: ft × (ft-ft) -> ft ^ 2
Pasando a la integral del producto, no puedo pensar en nada geométrico donde el exponente tenga unidades (especialmente cuando el comportamiento final de los exponentes debe ser infinitesimalmente pequeño, tomando raíces NNNth). Para mí, los exponentes en geometría están relacionados con áreas / volúmenes dimensionales más altos, pero en tales fórmulas, los exponentes están libres de unidades.
Para citar la pregunta (el énfasis es mío):
hay una geometríao medida-teórica) interpretación de la integral del producto?
En particular, en lo que sigue daré una interpretación de la teoría de la medida de la integral del producto. (Específicamente el producto de tipo II integral en la terminología de Wikipedia). Es decir, en realidad hay una interpretación bastante clara que corresponde a la teoría de integración de Lebesgue. Por lo tanto, puede o no considerar esto también “geométrico” en la medida en que considere que la teoría de la integración de Lebesgue es “geométrica” (en comparación con, por ejemplo, la de Riemann).
Aparte de las advertencias, considere un espacio de medida dado $ (X, mathscr F, mu) $, donde $ X $ es el conjunto básico, $ mathscr F $ es el $ sigma $ -álgebra y $ mu $ es la medida. Al igual que en el caso de la integración de Lebesgue, el primer lugar donde debemos comenzar es con funciones simples.
Los números negativos son malos
Ahora bien, aunque los productos finitos de números negativos no plantean problemas, debería quedar claro que querríamos evitar los “productos infinitos” de números negativos, o más específicamente, cualquier intento de definir límites de secuencias que impliquen multiplicar infinitas veces los números negativos. Para mí, esto es claro al considerar la secuencia $ (- 1) ^ n $. Se puede decir que esta es la secuencia más simple posible que implica la multiplicación de números negativos, pero ya es completamente indecidible si cualquier “límite como $ n a infty $” debería ser $ 1 $ o $ -1 $. Piense también en el dolor de cabeza que se produce al intentar definir una exponenciación arbitraria para números negativos, por ejemplo, ¿cuál debería ser $ (- 7) ^ pi $? El problema nuevamente es que tendríamos que considerar los límites de secuencias de productos de números negativos (por ejemplo, $ (- 7) ^ 3141/1000 $, $ (- 7) ^ 3142/1000 $, $ dots $) y estas secuencias “no son continuas en $ n $”, por ejemplo, continuarán fluctuando alrededor de $ 0 $ de una manera que no sea Cauchy, y cualquier límite dependerá de la forma en que elijamos acercarnos a $ pi $, mientras que deberían ser invariante a la dirección de aproximación, es decir, diferentes subsecuencias darían diferentes respuestas, mientras que si una secuencia debe tener un límite bien definido, todas las subsecuencias deben tener el mismo límite.
Por lo tanto, cualquier función simple que consideremos no debería tener coeficientes negativos. Permitir coeficientes que aparentemente son cero no debería presentar ningún problema, ya que siempre que se incluye un coeficiente cero sabemos automáticamente que el producto resultante debería ser cero. Los problemas que involucran el cero son en realidad un poco más sutiles, pero para tratar de presentar auténticamente un enfoque “ingenuo”, los pasaremos por alto al principio y examinaremos la carnicería resultante más tarde.
En resumen, sostengo anteriormente que al tratar de desarrollar una “teoría de Lebesgue de integrales de productos”, no debemos considerar funciones simples arbitrarias, sino que debemos restringir nuestra atención a funciones simples que son combinaciones cónicas de funciones indicadoras (de conjuntos medibles), es decir, solo coeficientes no negativos. Entonces, digamos que tenemos una función tan simple, $ f: X to mathbb R _ ge 0 $,
$$ f (x) = sum_ k = 1 ^ n a_k mathbf 1 _ A_k (x) ,, $$
donde cada $ a_k ge 0 $, y cada $ A_k in mathscr F $ (es decir, cada $ A_k $ es medible).
Un enfoque ingenuo (y muchas de las demasiadas razones por las que no funciona)
Entonces, la forma de definir la integral de producto que se sugiere de inmediato (o al menos que se me sugirió) es:
$$ prod f: = prod_ k = 1 ^ n a_k mu (A_k) ,. $$
Si uno de los $ a_k = 0 $, entonces no hay problema, esto es solo $ 0 $, así que aparentemente estaríamos listos, al menos después de probar un montón de resultados análogos a los que se obtienen para las integrales de Lebesgue.
Sin embargo, eso suena a mucho trabajo tedioso, por lo que, naturalmente, nos preguntamos si hay una manera de conectar automáticamente esta teoría con la teoría de las integrales de Lebesgue (aditivas). De esa manera, podemos aplicar todos esos teoremas (convergencia monótona, lema de Fatou, etc.) a este escenario sin tener que probar nada nuevo, ahorrando así mucho tiempo y esfuerzo.
Si uno de los $ a_k = 0 $, entonces el producto es solo $ 0 $, por lo que realmente no tenemos que pensar demasiado, así que limitemos sin pérdida de generalidad (parece) a la condición de que todos $ a_k> 0 PS Entonces, si queremos relacionar lo anterior con la integración de Lebesgue, podemos (aparentemente) simplemente tomar el logaritmo, es decir, explotar la existencia de un isomorfismo entre los grupos $ ( mathbb R _ > 0, times) $ y $ ( mathbb R, +) $. Ahora tenemos una suma finita para cada función simple bajo consideración, cuya forma es similar a la definición de entropía:
$$ sum_ k = 1 ^ n ( log a_k) mu (A_k) ,. $$
Oh, está bien, entonces esto solo corresponde a la integral de Lebesgue de $ ( log circ f) $ (que puede ser cualquier función simple arbitraria, ya que $ log $ asigna $ (0, infty) $ a todo $ mathbb R $) con respecto a $ mu $. Oh, pero espera, ¿no necesitamos tomar el $ log $ de $ mu (A_k) $ también? Muy bien, entonces sería:
$$ sum_ k = 1 ^ n ( log a_k) log ( mu (A_k)) ,. $$
Bueno, eso no es tan elegante, pero tal vez podríamos hacerlo funcionar usando la teoría de medidas con signo, ya que ahora en lugar de una función de ponderación no negativa $ mu: mathscr F to mathbb R _ ge 0 cup infty $, tenemos una función de ponderación que toma valores reales extendidos arbitrarios, $ ( log circ mu): mathscr F to mathbb R taza pm infty $.
Excepto que nada de esto funciona en absoluto, por tantas razones que probablemente no podré recordarlas todas. Primero, el logaritmo de cada $ a_k mu (A_k) $ es el suma $ log (a_k) + log ( mu (A_k)) $, no el producto $ log (a_k) log ( mu (A_k)) $, de modo que $ ( log circ mu (A_k )) $ no está sirviendo como una función de ponderación aquí, permitiendo pesos negativos o de otra manera.
Pero incluso si uno piensa que podría ser capaz de pasar por la fuerza bruta para superar eso, también debe considerar que, aunque $ mu $ es una medida, y $ ( log circ mu) $ es en cierto sentido una extensión de $ mu $ a todos los reales extendidos (incluidos los negativos), $ log mu $ es sin embargo no una medida firmada, por razones asombrosamente parecidas más básico que la falta de aplicación del teorema de descomposición de Jordan / Hahn. (No se aplica en general, ya que cuando $ mu $ no es una medida finita, $ ( log circ mu) $ puede asumir tanto el valor $ – infty $ como $ infty $, de modo que para algunos conjuntos medibles, podría darse el caso de que $ ( log circ mu) $ pueda “asignar el valor $ infty – infty $, que no está definido y por una buena razón. Por supuesto, podemos eludir esto cuando $ mu $ es una medida finita, pero mi punto es que los problemas son aún más profundos).
Es decir, $ ( log circ mu) $ es no aditivo. Dado $ A_1, A_2 in mathscr F $, $ A_1 cap A_2 = emptyset $, uno tiene eso: $$ log (A_1 sqcup A_2) = log ( mu (A_1 sqcup A_2) ) = log ( mu (A_1) + mu (A_2)) not = log ( mu (A_1)) + log ( mu (A_2)) ,. $$ Entonces, dado que $ ( log circ mu) $ no es aditivo, no puede ser una medida con signo. Además, $ ( log circ mu) $ no es monótono en el sentido requerido para las medidas firmadas. $ ( log circ mu) ( emptyset) = log (0) = – infty $, además $ ( log circ mu) $ asigna $ – infty $ a cualquier $ mu $ medida cero conjunto, por lo que si $ ( log circ mu) $ fuera monótono en el sentido requerido para las medidas firmadas, uno tendría que asignar $ – infty $ a cada conjunto, lo que claramente no hace en general. E incluso si asignara $ – infty $ a cada conjunto, eso solo significaría que nuestra definición de integral de producto sería inútil, porque en particular implicaría que toda integral de producto es cero.
En resumen, nuestra definición actual de integral de producto falla estrepitosamente en cualquier intento de relacionarla claramente con la teoría ya existente de la integración de Lebesgue. Entonces, si tuviéramos que aceptar esto como nuestra definición de trabajo de integral de producto, en el caso más optimista todavía tendríamos mucho trabajo por delante. Sin embargo, la definición anterior no solo es difícil y tediosa, también es completamente absurda. El culpable es $ 0 $, que tan despreocupadamente pasamos por alto antes.
Veamos más de cerca los conjuntos con ($ mu $ -) medida cero. Incluso si todos nuestros $ a_k> 0 $, si uno de los $ A_k $ tiene medida cero, digamos para $ k = k ‘$, entonces automáticamente nuestra integral de producto como se define arriba es cero, ya que
$$ prod f = prod_ k = 1 ^ n a_k mu (A_k) = a_ k ‘ mu (A_ k’) prod_ k not = k ‘ a_k mu ( A_k) = a_ k ‘ (0) prod_ k not = k’ a_k mu (A_k) = 0 ,. $$
Tal vez esto pueda parecer bien para algunas personas, pero entra en conflicto con la intuición que otras personas tienen, es decir, que la contribución de cualquier conjunto de medida cero debería ser “insignificante”. (Este es el caso de las integrales regulares). El valor $ a_ k ‘ $ en $ A_ k’ $ se ignora, por supuesto, pero la contribución de $ A_ k ‘ $ no es despreciable , ya que automáticamente hace que todo el producto sea cero, incluso si todos los demás factores pueden haber sido positivos. Lo que nos gustaría más idealmente es que el valor de $ a_ k ‘ $ se ignore de una manera que no afecte el resultado final.
Supongamos momentáneamente que nuestra intuición nos engaña a partir de la medida de Lebesgue en la línea real (donde la mayoría de los conjuntos de cero de medida son conjuntos patológicos no medibles con respecto al álgebra $ sigma $ de Borel) y decidamos que probablemente podamos trabajar en torno a la medida conjuntos de cero de alguna manera (aunque $ emptyset $ es siempre un conjunto de cero de medida y nunca hay forma de evitarlo por completo). En particular, supongamos que podríamos restringir nuestra definición a solo conjuntos $ A_k $ donde $ mu (A_k)> 0 $, es decir, combinaciones cónicas de funciones indicadoras de $ A_k $ donde $ mu (A_k)> 0 $,
$$ f (x) = sum_ k = 1 ^ n a_k mathbf 1 _ A_k (x) ,, quad a_k ge 0 ,, quad mu (A_k)> 0 ,, quad implica quad prod f: = prod_ k = 1 ^ n a_k mu (A_k) ,. $$
En particular, esto (aparentemente) nos garantiza que la integral del producto es igual a $ 0 $ solo cuando uno de los $ a_k $ es igual a $ 0 $, que es el comportamiento que esperaríamos de un finito producto ponderado. (Como vista previa de lo que vendrá más adelante, tenga en cuenta que para todos los $ n $ esperamos que $ ( frac 1 2) ^ n $ sea distinto de cero, pero que su límite es de $ n a infty $ debe ser cero, aunque todos los factores sean positivos. De ahí el énfasis en finito.) Además, esto también parece evitar cualquier indeterminación debido al hecho de que para cualquier $ A_k $, $ A_k = A_k cup emptyset $, y $ mathbf 1 _ emptyset equiv 0 $; simplemente hemos excluido escribir $ f $ de una manera que lo descomponga para incluir el indicador (superfluo) del conjunto vacío.
Sin embargo, incluso con todas estas condiciones artificiales, todavía surgen problemas. En particular, nuestra integral de producto todavía no está bien definida en general. Considere el caso en el que $ cup_ k = 1 ^ n A_k subsetneq X $, es decir, la unión de todos los $ A_k $ no es el conjunto básico completo $ X $. Si tenemos la mala suerte de tener $ mu (X setminus cup_ k = 1 ^ n A_k)> 0 $,
$$ f (x) = sum_ k = 1 ^ n a_k mathbf 1 _ A_k (x) = sum_ k = 1 ^ n a_k mathbf 1 _ A_k + (0) mathbf 1 _ X setminus cup_ k = 1 ^ n A_k (x) ,. $$
No solo el tipo de descomposición impuesto arbitrariamente que hemos requerido no es único, sino que las dos descomposiciones diferentes dan valores diferentes para la integral del producto cuando todos los $ a_k> 0 $!
La idea correcta
Así que, básicamente, nuestro problema es el siguiente: si uno de los conjuntos es “verdaderamente” ponderado $ 0 $, entonces, por supuesto, queremos que la integral del producto sea igual a cero. Es decir, si el conjunto tiene ambas medidas positivas y deliberadamente pretendíamos que el coeficiente de su función indicadora fuera $ 0 $, entonces, por supuesto, la integral del producto debería ser cero. Pero de lo contrario, si el conjunto tiene medida cero, o si tiene medida positiva pero no queremos prestar atención al comportamiento de $ f $ allí, el valor de la integral del producto no debería verse afectado.
Este es el punto clave: el número que deja las cosas “intactas” es diferente para la multiplicación en comparación con la suma. En particular, si queremos usar la idea de que $ ( mathbb R, +) $ y $ ( mathbb R _ > 0, times) $ son isomorfos como grupos, debemos recordar que cualquier isomorfismo identifica el elemento de identidad de un grupo con el elemento de identidad de otro grupo. La identidad aditiva es $ 0 $, pero la identidad multiplicativa es no $ 0 $ (de hecho, $ 0 $ ni siquiera está en el conjunto $ mathbb R _ > 0 $); en cambio, la identidad multiplicativa es $ 1 $. Entonces, si queremos que ciertos factores en nuestra definición de integral de producto para funciones simples no afecten el resultado final, necesitamos que esos factores sean iguales a $ 1 $, no a $ 0 $. Nuestra definición actual, ingenua, que intenta transponer directamente la definición de integración de Lebesgue, hace exactamente lo mismo, ya que asigna a esos factores el valor $ 0 $.
Centrémonos primero en el caso en el que requerimos que todos los coeficientes $ a_k $ de funciones indicadoras en nuestra función simple sean estrictamente mayores que $ 0 $. Nuevamente, queremos forzar la contribución de cualquier conjunto de medidas $ cero $ para que sea insignificante, independientemente del valor de $ a_k $, es decir, queremos forzar el valor del factor correspondiente en la integral del producto a $ 1 $. Obligamos a que un sumando sea la identidad aditiva multiplicándolo por $ 0 $, y de la misma manera, dado que la exponenciación es la operación que sigue a la multiplicación que a su vez sigue a la suma, podemos forzar que un factor sea la identidad multiplicativa exponencializándolo por $ 0 $. Por lo tanto, la consideración anterior fuerza más o menos nuestra definición de integral de producto a ser:
$$ prod f ^ d mu: = prod_ k = 1 ^ n a_k ^ mu (A_k) ,. $$
Por ejemplo, algo estúpido como los factores de $ a_k exp ( mu (A_k)) $ no funcionaría a menos que forzáramos $ a_k = 1 $ para cualquier $ A_k $ con $ mu (A_k) = 0 $ que no es natural , frustra el propósito de lo anterior. En cualquier caso, también sería malo prácticamente hablando porque su logaritmo corresponde a sumandos de la forma $ log (a_k) + mu (A_k) $ mientras que $ log (a_k) mu (A_k) $ es lo que realmente queremos para poder relacionar nuestra teoría con la teoría de las integrales de Lebesgue previamente existente.
Entonces, si incluimos los casos en los que $ a_k $ posiblemente sea igual a $ 0 $, esto todavía no es malo, siempre y cuando elijamos usar la convención de que $ 0 ^ 0 = 1 $. Esto todavía obliga a que la contribución de los conjuntos de ($ mu $ -) medida cero sea insignificante, en particular el conjunto vacío, al tiempo que permite integrales de productos que son genuinamente $ 0 $. (Esta convención es análoga a establecer $ 0 cdot (- infty) = 0 $.)
Además, también obtenemos de esta definición dos beneficios adicionales, y posiblemente inesperados:
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Esta definición es “compatible” con la integral de Lebesgue (aditiva). Específicamente, al menos cuando todos los $ a_k> 0 $, tenemos eso:
$$ prod f ^ d mu = prod_ k = 1 ^ n a_k ^ mu (A_k) iff log left ( prod f ^ d mu right) = sum_ k = 1 ^ n log (a_k) mu (A_k) = int log fd mu ,. $$
Además, también parece claro (es cierto que no he escrito yo mismo las pruebas formales) que correspondientemente $ prod f ^ d mu = 0 iff int log fd mu = – infty $, $ prod f ^ d mu = infty iff int log fd mu = infty $, y $ prod f ^ d mu $ no está definido si y solo si $ int log fd mu $ no está definido, por lo que obtenemos una correspondencia (n casi) perfecta entre $ prod f ^ d mu $ y $ exp ( int log fd mu) $ para funciones simples. Esta correspondencia también debería trasladarse de manera más general a todas las $ mathscr F $ – funciones medibles porque $ log $ y $ exp $ son funciones continuas y las funciones continuas conmutan con límites. Por tanto, esta teoría puede reducirse por completo a la teoría de la integración de Lebesgue.
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Como consecuencia de lo anterior, tenemos que la integral del producto debe estar bien definida, es decir, su valor es el mismo independientemente de cómo escribamos la función simple $ f $, ya que sabemos por la teoría de la integración (regular) de Lebesgue que el valor de $ int log fd mu $ (y por lo tanto también de $ exp ( int log fd mu)) $ es el mismo independientemente de cómo escribamos la función simple.
En otras palabras, la interpretación teórica de la medida de la integral del producto es muy similar a la teoría de la integración de Lebesgue, siempre que nos restrinjamos a funciones simples que son combinaciones cónicas de funciones indicadoras de conjuntos medibles, y que asignamos el coeficiente $ 1 $, y no el coeficiente $ 0 $, a cualquier función indicadora cuya contribución queremos que sea insignificante.
Este no fue un final tan claro / lúcido como quería, pero como probablemente puedas adivinar, terminó siendo mucho más largo de lo que esperaba / anticipé originalmente.
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