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Solución:
Puede utilizar el desarrollo de productos de seno en lugar de la fórmula de Stirling.
$displaystylelim_n to infty pfrac(n!)^pp^np(np)!n^(p-1)/2 = pprodlimits_ k=1^p-1Gammaleft(frackpright)= psqrtprodlimits_k=1^p-1Gamma izquierda(frackpderecha)Gammaizquierda(1-frackpderecha)=$
$hspace3.8cmdisplaystyle = psqrtprodlimits_k=1^p-1fracpisin(fracpi kp) = psqrtfracpi^p-12^1-pp=sqrtp(2pi)^p-1$
Nota:
$displaystyle prodlimits_k=1^p-1sinleft(x+fracpi kpright) = frac1(i2)^p -1 prodlimits_k=1^p-1left( e^i(x+fracpi kp)- e^-i(x+frac pi kp)derecha)$
$displaystyle = frac1(i2)^p-1 prodlimits_k=1^p-1 e^ifracpi kp prodlimits_k=1^p-1left( e^ix- e^-ix-i2fracpi kpright)$
$displaystyle = frac1(i2)^p-1 e^ifracpi(p-1)2frace^ipx-e^ -ipxe^ix-e^-ix = 2^1-pfracsin(px)sin x ~~(,to p2^ 1-p,,$ por $,xa 0,)$
Del teorema de de Moivre-Laplace, o al menos de una forma particular del mismo, tenemos que
$$ an elegir n left(frac1aright)^n left(fraca-1aright)^(a-1)n sim frac1sqrt2 pi an frac1a left(fraca-1aright) tag1 $$
como $n a infty$para todo entero positivo $a$. (El símbolo “$sim$” denota que el límite del cociente de los lados izquierdo y derecho es 1). La forma más directa de probar esto es usando la fórmula de Stirling, pero puede probarlo sin la fórmula de Stirling mediante una teoría de probabilidad más general. Consulte, por ejemplo, el Teorema 7 en Apuntes de Tao sobre variantes del teorema del límite central.
Su ecuación (como se expresa en su edición) es
$$ lim_n to infty a frac(n!)^aa^an(an)! n^(a-1)/2 = a^1/2 (2pi)^(a-1)/2, $$
que también se puede escribir como
$$ frac(an)!(n!)^a sim sqrta fraca^an(2 pi n)^(a-1)/2 . $$
Esto es equivalente a la ecuación (1), usando
$$ fracfrac(un)!(n!)^afrac((a-1)n)!(n!)^(a-1) = un elegir n $$
e inducción en $a$.
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