Después de consultar con expertos en la materia, programadores de deferentes áreas y profesores dimos con la solución al problema y la plasmamos en este post.
Solución:
Solo una breve comparación:
Las series de Fourier son:
- Global en naturaleza. Las series de Fourier se calculan mediante un integral durante un período (representan la función completa durante un período, incluso si es discontinua, continua por partes, etc…. a pesar del fenómeno de Gibbs)
- Las series de Fourier descomponen una función representándola como una combinación lineal de funciones básicas (seno y coseno). Estas funciones base son ortogonales.
- Las series de Fourier son invertibles. Es decir, una vez que tenga sus coeficientes de Fourier, puede reconstruir la función completa a partir de los coeficientes (hasta cierto punto, es decir, el fenómeno de Gibbs).
Por otro lado:
Las series de Taylor son:
- Local en naturaleza. Las series de Taylor se calculan utilizando un número infinito de derivados en un punto (por lo tanto, no pueden representar funciones discontinuas, continuas por partes, etc.).
- Las series de Taylor descomponen una función representándola como una combinación fija de derivadas. Estas funciones de “base” no son ortogonales.
- Las series de Taylor son invertibles solo en la vecindad de un punto. En general, no se puede recuperar la función completa de una serie de Taylor.
Su comprensión es incorrecta en ambos casos.
Una serie de Taylor es capaz de representar una función “arbitraria” $f$ en la vecindad de un punto dado $a$ en el dominio de $f$ como una serie de potencias: $$f(x)=sum_k=0 ^infty c_k (xa)^k ,$$ es decir, en forma de “polinomio infinito”. Ni la serie ni sus sumas parciales finitas son “funciones lineales”. Los coeficientes $c_k$ de esta serie de potencias están conectados a la función representada $f$ por la fórmula $c_k=f^(k)(a)/k! $. Entonces vemos aquí los valores $f^(k)(a)$ entrando de forma lineal, pero las derivadas $f^(k)$ como funciones no aparecen en la representación.
Una serie de Fourier es capaz de representar una función periódica “arbitraria” $f$ de período $2pi$ como una “combinación lineal infinita” de las funciones periódicas básicas $tmapsto sin(kt)$, $tmapsto cos(kt)$; entonces tiene la forma $$f(t)=a_0over 2+sum_k=1^infty (a_kcos(kt)+b_ksin(kt)) .$$ Los coeficientes $a_k$, $b_k$ en esta representación están conectados al $f$ dado a través de ciertas integrales (que no escribiré aquí).
De hecho, existe una cierta conexión entre estos dos paradigmas. Funciona en el ámbito de las funciones de una variable compleja $z$, pero no se trata de que la misma función $f$ de una variable real $x$ o $t$ se represente con más o menos los mismos coeficientes $c_k$ , $a_k$, $b_k$ primero como serie de Taylor y luego como serie de Fourier.
Tanto las series de Fourier como las series de Taylor son descomposiciones de una función, la diferencia es que las series de Taylor son inherentemente locales, mientras que las series de Fourier son inherentemente globales.
Puedes encontrar mas aqui:
Conexión entre la transformada de Fourier y la serie de Taylor
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