Solución:
El artículo de Wikipedia cita un libro de texto que logra confundir aún más el tema:
Número puramente imaginario (complejo): Un número complejo $ z = x + iy $ se llama un número puramente imaginario sif $ x = 0 $ es decir $ R (z) = 0 $.
Número imaginario : Se dice que un número complejo $ z = x + iy $ es un número imaginario si y solo si $ y ne 0 $ es decir, $ I (z) ne 0 $.
Este es un uso ligeramente diferente de la palabra “imaginario”, que significa “no real”: entre los números complejos, los que no son reales los llamamos imaginarios, y un subconjunto adicional de ellos (con la parte real $ 0 $) son puramente imaginario. Excepto que según esta definición, $ 0 $ es claramente puramente imaginario pero no ¡imaginario!
De todos modos, cualquiera puede escribir un libro de texto, así que creo que la prueba real es esta: ¿$ 0 $ tiene las propiedades que queremos que tenga un número (puramente) imaginario?
No puedo (y MSE no puede) pensar en ninguna propiedad útil de los números complejos puramente imaginarios $ z $ aparte de la caracterización de que $ | e ^ {z} | = 1 $. Pero $ 0 $ claramente tiene esta propiedad, por lo que deberíamos considerarla puramente imaginaria.
(Por otro lado, $ 0 $ tiene todas las propiedades que debería tener un número real, siendo real; por lo que tiene cierto sentido decir también que es puramente imaginario pero no imaginario al mismo tiempo).
No creo que haya un
definición completa y formal de “número imaginario”
A veces es un término útil. Es responsabilidad del autor dejar en claro lo que quiere decir en cualquier contexto particular donde la precisión importa. Si $ 0 $ debe contar, o no, entonces el texto debe decirlo.
Tu pregunta muestra claramente que comprendes la estructura de los números complejos, por lo que deberías poder entender cualquier pasaje que encuentres.