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Solución:
El error de truncamiento no satisfacer esa ecuación, es solo su definición.
Considere dos problemas siguientes:
- El primero es una EDO. $$ y ‘(t) = f (t, y (t)) \ y (0) = a. $$ Su solución es una función suave $ y (t) $.
- La segunda es una ecuación en diferencias $$ frac z_ i + 1 – z_i h = f (t_i, z_i) \ z_0 = a. $$ Su solución es alguna función discreta $ z_i $.
He usado intencionalmente letras diferentes para denotar esas dos soluciones. Son bastante diferentes, la primera es una función suave mientras que la segunda es discreta. Hay que tener cuidado incluso al comparar esos dos. Normalmente se introduce la tercera función. Se define como una restricción del suave $ y (t) $ a la cuadrícula $ t_i $, donde se define la función discreta $ z_i $. Denotemos la restricción como $ w_i $: $$ w_i equiv y (t_i). $$
La función $ w_i $ es discreta al igual que $ z_i $ y $ w_i $ coinciden con $ y (t) $ en los puntos de la cuadrícula. Como ahora $ w_i $ y $ z_i $ son funciones de la misma clase, podemos compararlas fácilmente: $$ e_i = w_i – z_i equiv y (t_i) – z_i. $$ Entonces, hablando en términos generales, error global muestra qué tan cerca están $ y (t) $ y $ z_i $ (al restringir el primero a la cuadrícula). Cuando alguien está resolviendo algún problema numéricamente, el error global es lo que le interesa. De todos modos, el cálculo directo del error global es casi imposible, ya que a menudo simplemente no tenemos los valores exactos de $ w_i = y (t_i) $ (en contraposición a $ z_i $, que podemos calcular fácilmente).
Y el concepto de error de truncamiento local viene al rescate. Tenga en cuenta que anteriormente hemos comparado soluciones. Ahora vamos a comparar problemas. Toma $ z_i $. Es la solución al segundo problema. Conectar $ z_i $ lo convierte en una identidad válida $$ frac z_ i + 1 – z_i h = f (t_i, z_i) \ z_0 = a. $$ Pero si ahora tomamos $ w_i $ e intentamos conectarlo al esquema de diferencia, no obtendremos una identidad. En cambio, obtendremos un residual: $$ frac w_ i + 1 – w_i h = f (t_i, w_i) color rojo + d_i \ w_0 = a color rojo + d_0. $$ Si tenemos mucha suerte, algunos residuos pueden desaparecer, como $ d_0 $, pero a menudo no es el caso.
Entonces, ¿por qué $ d_i $ es interesante mientras que también se define en términos de $ w_i $ (la solución desconocida del problema original)? Resulta que podemos estimar el $ d_i $ sin conocer el valores exactos de $ w_i $ simplemente conociendo el problema original. $$ d_i = frac w_ i + 1 – w_i h – f (t_i, w_i) equiv frac y (t_ i + 1) – y (t_i) h – f (t_i, y (t_i)) = \ = y ‘(t_i) + h frac y’ ‘(t_i) 2 + O (h ^ 2) – f (t_i, y (t_i)) = \ = color azul izquierda[y'(t_i) – f(t_i, y(t_i))right] + color red h frac y ” (t_i) 2 + O (h ^ 2) $$ El término azul entre llaves es exactamente la EDO original, y $ y (t) $ es exactamente su solución. Entonces el término es igual a cero. $$ d_i = h frac y ” (t_i) 2 + O (h ^ 2). $$ Se puede obtener un resultado similar si se usa una forma diferente de la fórmula de Taylor: $$ d_i = h frac y ” ( xi_i) 2, qquad xi_i in [t_i, t_i+1]. $$
Entonces, ahora podemos estimar el error de truncamiento local, pero estamos interesados en el error global.
Para relacionarlos necesitamos introducir otro concepto de estabilidad. Considere los dos problemas discretos $$ begin alineado & frac z_ i + 1 – z_i h = f (t_i, z_i) \ & z_0 = a end alineado qquad text y qquad begin alineado & frac w_ i + 1 – w_i h = f (t_i, w_i) color green + d_i \ & w_0 = a color verde + d_0 end alineado. $$ Haga de cuenta que conocemos $ d_i $. Veamos el segundo problema como una perturbación del primero. Eso es razonable, ya que $ d_i $ es un valor pequeño de magnitud $ O (h) $. Un problema de diferencia se llama estable si estas pequeñas perturbaciones resultan en pequeños cambios de la solución. Para este caso, esto significa que la diferencia $ z_i – w_i $ también será pequeña. Precisamente $$ max_i | z_i – w_i | leq C max_i | d_i | $$ donde $ C $ se llama constante de estabilidad del método. Para el método de Euler explícito se puede demostrar que para Lipschitz-continuo $ f $ $$ C leq e ^ LT $$ siendo $ L $ la constante de Lipschitz de $ f $ y $ T $ es el tiempo total de integración $ T = max_i t_i $.
Finalmente podemos relacionar el error global y el error de truncamiento local mediante $$ | e_i | leq C max_i | d_i | $$
Si el error de truncamiento local tiende a cero cuando se refina la malla discreta, el método numérico se llama consistente. El teorema de Lax establece que un método consistente estable converge, en el sentido de que $ e_i a 0 $ cuando se refina la malla.
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