Solución:
La matriz estándar tiene columnas que son las imágenes de los vectores de la base estándar $$ T Bigg ( begin {bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end {bmatrix} Bigg), qquad T Bigg ( begin {bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end {bmatrix} Bigg), qquad T Bigg ( begin {bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end {bmatrix} Bigg). tag {1} $$ Entonces, un enfoque sería resolver un sistema de ecuaciones lineales para escribir los vectores de la base estándar en términos de tus vectores $$ begin {bmatrix} -2 \ 3 \ -4 \ end {bmatrix}, qquad begin {bmatrix} 3 \ -2 \ 3 \ end {bmatrix}, qquad begin {bmatrix} -4 \ -5 \ 5 \ end { bmatrix}, $$ y luego obtenga (1).
Alternativamente, tenga en cuenta que si $ A $ es la matriz estándar que está buscando, entonces $$ A cdot begin {bmatrix} -2 & 3 & -4 \ 3 & -2 & -5 \ -4 & 3 & 5 \ end {bmatrix} = begin {bmatrix} 5 & -4 & -6 \ 3 & 6 & -40 \ 14 & -14 & -2 \ end {bmatrix}, $$ y multiplicar a la derecha por la inversa de $$ begin {bmatrix} -2 & 3 & -4 \ 3 & -2 & -5 \ -4 & 3 & 5 \ end {bmatrix}. $$
Revelación Y la matriz $ A $ es …
$$ begin {bmatrix} -1 & 5 & 3 \ 5 & 3 & -1 \ – 2 & -2 & -4 end {bmatrix} $$
Muchas gracias a @MartinSleziak para corregir dos erratas en los comentarios a continuación.
Puede poner en una matriz determinados vectores y sus imágenes. Si luego realiza operaciones de fila elementales, esta propiedad no se modifica. (Después de cada paso tienes en cada fila un vector y su imagen. Esto se debe a la linealidad). Si logras obtener la matriz de identidad de la izquierda, entonces conoces las imágenes de los vectores a partir de la base estándar, lo cual es suficiente para obtener la matriz de su transformación lineal. (Como está utilizando vectores de columna, el resultado es la transposición de la matriz de la derecha. Vale la pena mencionar que algunos autores prefieren los vectores de fila; en tal caso, la matriz no se transpondría. Consulte también el artículo de Wikipedia sobre Row y vectores de columna.)
$ left ( begin {array} {ccc | ccc} -2 & 3 & -4 & 5 & 3 & 14 \ 3 & -2 & 3 & -4 & 6 & -14 \ -4 & -5 & 5 & -6 & -40 & -2 end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 9 & 0 \ 3 & – 2 & 3 & -4 & 6 & -14 \ -4 & -5 & 5 & -6 & -40 & -2 end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc } 1 & 1 & -1 & 1 & 9 & 0 \ 0 & -5 & 6 & -7 & -21 & -14 \ -4 & -5 & 5 & -6 & -40 & -2 end { array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 9 & 0 \ 0 & -5 & 6 & -7 & -21 & -14 0 & -1 & 1 & -2 & -4 & -2 end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 5 & -2 \ 0 & -5 & 6 & -7 & -21 & -14 \ 0 & -1 & 1 & -2 & -4 & -2 end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 5 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 2 & 4 & 2 \ 0 & -5 & 6 & -7 & -21 & -14 end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 5 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 2 & 4 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -4 end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 5 y -2 \ 0 y 1 y 0 y 5 y 3 y -2 \ 0 y 0 y 1 y 3 y – 1 y -4 end {matriz} right) $
Tenga en cuenta que si $$ begin {pmatrix} -2 \ 3 \ -4 \ end {pmatrix} = -2 begin {pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ end {pmatrix} +3 begin {pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ end {pmatrix} -4 begin {pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ end {pmatrix} $$ entonces $$ T begin {pmatrix } -2 \ 3 \ -4 \ end {pmatrix} = -2 times T begin {pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ end {pmatrix} +3 times T begin { pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ end {pmatrix} -4 times T begin {pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ end {pmatrix} = -2T ( epsilon_1) + 3T ( epsilon_2) -4T ( epsilon_3) $$ Ahora haz lo mismo con otros dos vectores para encontrar dos relaciones escritas por para $ T ( epsilon_i) $. Aquí, tienes un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas $ T ( epsilon_i) $ que al resolverlo obtienes $ T ( epsilon_i) _1 ^ 3 $. Ahora usa el hecho de que $$ T begin {pmatrix} x \ y \ z \ end {pmatrix} = xT ( epsilon_1) + yT ( epsilon_2) + zT ( epsilon_3) $$ para encontrar el relación original por $ T $. Creo que por su regla puedes encontrar la matriz asociada.