Solución:
Creo que la confusión surge porque el clásico problema chico-chica es ambiguo:
Sabes que el señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una niña. ¿Qué posibilidades hay de que tenga una hermana?
La ambigüedad aquí es que a partir de esta descripción, no está claro cómo llegamos a saber que ‘el señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una hija’.
Considere los siguientes dos escenarios:
Escenario 1:
Nunca antes había conocido al Sr. Smith, pero un día lo encontró en la tienda. Tiene una niña pequeña con él, que te dice que es uno de sus dos hijos.
Escenario 2:
Eres un productor de televisión y decides hacer un programa sobre ‘¿cómo es criar una hija?’ y llamaste a esos padres para que vinieran al programa. El señor Smith acepta ir al programa y, a medida que empieza a hablar, le dice que tiene dos hijos.
Ahora observe: la descripción original se aplica a ambos casos. Es decir, en ambos casos es cierto que sabe que ‘el señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una hija’.
Sin embargo, en el escenario 1, la probabilidad de que el Sr. Smith tenga dos hijas es $ frac {1} {2} $, pero en el escenario 2 es $ frac {1} {3} $. La diferencia es que en el primer escenario uno específico niño ha sido identificado como mujer (y por lo tanto la posibilidad de tener dos hijas asciende a ella hermano es mujer, que es $ frac {1} {2} $), mientras que en el segundo escenario no específico La niña está identificada, por lo que ya no podemos hablar de “su hermano” y, en su lugar, tenemos que considerar una probabilidad condicional que resulta ser $ frac {1} {3} $.
Ahora, su escenario original, donde no sabe nada sobre el Sr. Smith aparte de que tiene dos hijos, y luego el Sr. Smith dice ‘¡Estoy tan feliz de que Victoria haya obtenido una beca!’ es como el escenario 1, no el escenario 2. Es decir, a menos que el Sr. Smith tenga dos hijas llamadas Victoria (lo cual es posible, pero extremadamente improbable, y si lo hubiera hecho, uno habría esperado que dijera algo como “mi Victoria mayor”), con su declaración el señor Smith ha señalado 1 de sus dos hijos, por lo que es equivalente al escenario 1.
De hecho, apostaría a que la mayoría Los casos de la vida real en los que en algún momento es cierto que ‘sabes que algún padre tiene dos hijos, uno de los cuales es una niña’ son lógicamente isomorfos al escenario 1, no al escenario 2. Es decir, el clásico problema de dos niñas es divertido y todo, pero la mayoría de las veces la descripción del problema es ambigua desde el principio, y si tiene cuidado de expresarlo de manera que la respuesta sea $ frac {1} {3} $, se dará cuenta lo poco común que es para ese tipo de escenario que ocurrirá en la vida real. (De hecho, observe cómo tuve que trabajar bastante duro para llegar a un escenario de la vida real que sea al menos algo plausible).
Finalmente, todas las variaciones de si Victoria es la mayor, la más joven o si ni siquiera sabe su nombre (‘El Sr. Smith le dice que sus hijos obtuvieron una beca para la Academia de Todas las Niñas’) no cambian ninguno de los probabilidades (como usted argumentó correctamente): en la mayoría de los escenarios de la vida real, el camino llega a saber que ‘El señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una niña’ (y yo diría que eso incluye su escenario original) significa que la posibilidad de que el otro niño sea una niña es $ frac {1} { 2} $, no $ frac {1} {3} $.
Entonces, cuando al final de tu publicación original preguntas “¿dónde está mi error?” Yo respondería: su ‘error’ es que asumió que la respuesta correcta debería ser $ frac {1} {3} $, y que dado que su argumento implicaba que sería $ frac {1} {2} $, concluyó que debe haber habido un error en su razonamiento. Pero, resulta que no lo hubo. Para tu escenario, la respuesta es de hecho $ frac {1} {2} $, y no $ frac {1} {3} $. ¡Entonces su ‘error’ fue pensar que había cometido un error!
Dicho de otra manera: las matemáticas puras te cegaron temporalmente (y digo ‘temporalmente’, porque terminaste haciendo todas las preguntas críticas correctas y luego te diste cuenta de que el clásico problema de las dos niñas es ambiguo: ¡buen trabajo!). Pero lo que quiero decir es: hemos visto este problema de dos niñas con tanta frecuencia, y nos han dicho que la solución es $ frac {1} {3} $ tantas veces, que inmediatamente asume que también en el escenario descrito esa es la respuesta correcta … Cuando en realidad ese no es el caso porque las suposiciones iniciales son diferentes: el problema clásico asume un escenario de Tipo 2, pero el escenario original descrito en su publicación es un escenario de Tipo 1.
Es como el problema de Monty Hall … Lo hemos visto tan a menudo, que tan pronto como ‘huele’ como el problema de Monty Hall, decimos ‘¡cambia!’ … cuando en realidad hay todo tipo de variantes sutiles en las que cambiar no es mejor, ¡y a veces incluso peor!
También eche un vistazo a Monkey Business Illusion: hemos visto ese video del gorila apareciendo en medio de personas pasando una pelota de baloncesto tantas veces que ahora podemos sorprender a la gente sobre la base de ese!
Adoptemos un enfoque pragmático a este respecto. Para el primer problema:
Paso 1: Reúna a un millón de hombres, cada uno de los cuales tiene dos hijos.
Paso 2: Dígale a todos los hombres que no tienen hijas que se vayan a casa.
Paso 3: Pida a todos los hombres restantes que tienen dos hijas que levanten la mano.
Obviamente, alrededor de un tercio de los hombres restantes levantarán la mano: quedan unos 750.000 hombres y unos 250.000 de ellos tienen dos hijas.
Para el segundo problema:
Paso 1: Reúna a un millón de hombres, cada uno de los cuales tiene dos hijos.
Paso 2: Dígale a todos los hombres que no tienen una hija llamada Victoria que se vayan a casa. (Podemos ignorar la beca).
Paso 3: Pida a todos los hombres restantes que tienen dos hijas que levanten la mano.
Ahora, suponga que 1 de cada 100 niñas se llama Victoria. (La cifra exacta no importa). Entonces, de los 500,000 padres con una hija y un hijo, 5,000 de ellos tendrán hijas llamadas Victoria; y de los 250.000 padres con dos hijas, 5.000 de ellos también tendrán una hija llamada Victoria (porque tienen 500.000 hijas en total). Por tanto, de los 10.000 hombres que quedan, 5.000 levantarán la mano.
Entonces, la probabilidad de que el Sr. Smith tenga dos hijas es $ 1/2 $.
Deje que $ XY $ denote que el sexo del hermano menor es $ X $ y el del hermano mayor es $ Y $. $ X $ y $ Y $ pueden ser $ M $ o $ F $, hombres y mujeres. Tenemos los siguientes tres eventos elementales igualmente probables
$$ {FF, FM, MF, MM }. $$
Estos son igualmente probables, por lo que $ P ( {XY }) = frac14 $ para todos los $ X, Y $ posibles.
El evento de que al menos uno de los hermanos sea una niña es
$$ {FF, FM, MF }. $$
El evento de que ambos hermanos sean mujeres es
$$ {FF }. $$
Queremos calcular la siguiente probabilidad condicional
$$ P ( {FF } mid {FF, FM, MF }) = frac {P ( {FF })} {P ( {FF, FM, MF })} = frac { frac14} { frac34} = frac13. $$
La pregunta sigue siendo: ¿Estamos de acuerdo en que las dos preguntas siguientes son las mismas preguntas?
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¿Cuál es la probabilidad de que en una familia ambos hijos ¿Las niñas están asumiendo que al menos uno de los niños es niña?
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Suponga que en una familia de dos hijos uno de los hijos es una niña. ¿Cuál es entonces la probabilidad de que el otro niño también es una niña?
EDITAR
Suponga que un padre dice que tiene una hija y que la hija es mayor que el otro hijo suyo. Entonces nuestra pregunta se modifica:
Suponga que el niño mayor es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que el niño más pequeño también sea una niña? Nuestra probabilidad condicional es entonces:
$$ P ( {FF } mid {FF, MF }) = frac {P ( {FF })} {P ( {FF, MF })} = frac { frac14 } { frac12} = frac12. $$
Entonces, no hay contradicción. La segunda pregunta es simplemente otra pregunta.
EDITAR 2
Solo estoy pensando … Me doy cuenta de que cualquiera que sea la respuesta del padre más honorable, la probabilidad cambia a $ frac12 $. ¡Incorrecto! Veamos qué pasa si no obtengo una respuesta. Entonces la respuesta es sí o no. Es decir, tenemos la siguiente probabilidad condicional:
$$ P ( {FF } mid {FF, MF } cup {FF, FM }) = frac {P ( {FF })} {P ( {FF, FM, MF })} = frac { frac14} { frac34} = frac13. $$