Solución:
Para cualquiera que tenga un problema similar, el problema se resolvió haciendo
<div class="container"
fxLayout>
<div fxFlex="25%" fxShow.lt-sm="false">
<admin-route-menu></admin-route-menu>
</div>
<div fxFlex>
<router-outlet></router-outlet>
</div>
</div>
Básicamente, siempre use divs con el módulo de diseño de flexión angular, ya que algunos elementos personalizados no funcionan bien con él, como la salida del enrutador
La solución proporcionada por @dinamix funciona bien. Entonces, explicaría la razón detrás de este problema.
El problema al que se enfrenta se espera debido a la razón obvia por la que le ha dado el atributo flex a la salida del enrutador. Y por lo tanto, la salida del enrutador ocupa todo el espacio que queda (ancho aquí).
Esta confusión debería desaparecer si se entiende que Angular no reemplaza el router-outlet con el componente correspondiente a la ruta. Más bien, agrega el componente al lado de la salida del enrutador.
Entonces, al envolver la salida del enrutador en un contenedor y configurar la flexión, dejará la salida del enrutador intacta, y el efecto de flexión será visible para su hermano (forma de proveedor en su ejemplo) agregado por angular.