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Diferencia entre función creciente y monótona creciente

Hacemos una revisión exhaustiva cada post de nuestro espacio con el objetivo de mostrarte siempre información con la mayor veracidad y actual.

Solución:

Estoy acostumbrado a lo siguiente: $f$ es

creciente iff $xle y Rightarrow f(x)le f(y)$

estrictamente creciente si y si $x< y Rightarrow f(x)< f(y)$

decreciente y estrictamente decreciente: similar, con las desigualdades para $f$ invertidas.

Monotónico: ya sea creciente o decreciente

estrictamente monótona: ya sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

En particular, aumentar monótonamente es lo mismo que aumentar, aumentar estrictamente monótonamente lo mismo que aumentar estrictamente.

(En general, siempre hay algo de libertad cuando se trata de definiciones, por eso escribí ‘Estoy acostumbrado’. En caso de que esté leyendo un libro de texto sobre análisis, el autor debe definir estos términos y luego ceñirse a ellos).

Como siempre lo he entendido (y varias referencias en línea parecen seguir esta tradición) es que cuando uno dice que una función es creciente o estrictamente creciente, quiere decir que lo está haciendo sobre algún subconjunto adecuado del dominio de la función. Decir que una función es monótona significa que exhibe un comportamiento en todo el dominio. Es decir, una función monótonamente creciente no es decreciente en su dominio y también es una función creciente ya que no es decreciente en ningún subconjunto del dominio. De manera similar, una función estrictamente monótonamente creciente es una función que es estrictamente creciente en todo su dominio, en lugar de simplemente aumentar en un subconjunto del dominio (como se determina a partir de la prueba creciente/decreciente en Cálculo). Se pueden decir cosas similares sobre una función monótonamente decreciente frente a una función decreciente. Esto se hace eco en gran medida de lo dicho por Thomas anteriormente, pero, tomando monótono como un término que se refiere al comportamiento de una función en todo el dominio, uno no necesita decir “Estoy acostumbrado”. Dicho esto, uno siempre debe tener claro qué definiciones se están utilizando, ya que la consistencia no es el punto fuerte de un ser humano.

Sea $y=f(x)$ una función derivable en un intervalo $(a,b)$. Si para dos puntos cualesquiera $x_1,x_2 in (a,b)$ tales que $x1 lt x2$, se cumple la desigualdad $f(x_1) leq f(x_2)$, la función se llama creciente en este intervalo.

Si se cumple la desigualdad $f(x_1) lt f(x_2)$, la función se llama estrictamente creciente en el intervalo.

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