Solución:
Suponemos la siguiente multiplicación de matrices por la matriz original y la propia forma transpuesta:
$$ begin {alineado} MM ^ { text {T}} = & begin {bmatrix} A & B \ C & D end {bmatrix} begin {bmatrix} A ^ { text {T}} & C ^ { text {T}} \ B ^ { text {T}} & D ^ { text {T}} end {bmatrix} \ = & begin {bmatrix} AA ^ { text {T}} + BB ^ { text {T}} & AC ^ { text {T}} + BD ^ { text {T}} \ CA ^ { text {T}} + DB ^ { texto {T}} & CC ^ { text {T}} + DD ^ { text {T}} end {bmatrix} end {alineado} $$
Entonces, cada matriz de bloques diagonales se convierte en una forma cuadrada. Por tanto, podemos aplicar la fórmula determinante de una matriz de bloques:
$$ begin {alineado} det (MM ^ { text {T}}) = & det (M) ^ 2 \ = & det left | begin {array} {cc} AA ^ { text {T}} + BB ^ { text {T}} & AC ^ { text {T}} + BD ^ { text {T}} \ CA ^ { text {T}} + DB ^ { text {T}} & CC ^ { text {T}} + DD ^ { text {T}} end {matriz} right | geq 0 end {alineado} $$
De ahí obtenemos:
$$ begin {alineado} & det (M) = \ pm & sqrt { det Big (AA ^ { text {T}} + BB ^ { text {T}} Big) det Big ((CC ^ { text {T}} + DD ^ { text {T}}) – (CA ^ { text {T}} + DB ^ { text {T}}) (AA ^ { text {T}} + BB ^ { text {T}}) ^ {- 1} (AC ^ { text {T}} + BD ^ { text {T}}) Big)} end { alineado} $$