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Demuestre que los valores propios de una matriz unitaria tienen módulo $ 1 $

Solución:

Multiplica tus dos relaciones para obtener

begin {align} v ^ * A ^ * Av & = lambda ^ * v ^ * lambda v \ v ^ * Iv & = left ( lambda ^ * lambda right) v ^ * v \ v ^ * v & = left ( lambda ^ * lambda right) v ^ * v \ || v || ^ 2 & = | lambda | ^ 2 || v || ^ 2 \ sqrt {1} & = | lambda | \ 1 & = | lambda | end {align}


Recuerde que el módulo de un número complejo $ lambda = a + bi $, también llamado “norma compleja”, se denota $ | lambda | $ y se define por $ | lambda | = | a + bi | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} $ y $ lambda ^ * lambda = (a -bi) (a + bi) = a ^ 2 + b ^ 2 $. Por lo tanto $ lambda ^ * lambda = | lambda | ^ 2. $

$ Delta $ como $ lambda $

$ Av = Delta v $

$ (Av) ^ * = ( Delta v) ^ * $

$ v ^ * A ^ * = Delta ^ * v ^ * $

$ v ^ * A ^ * Av = Delta ^ * v ^ * Delta v $

Como $ A ^ * A = I $

$ v ^ * Iv = Delta ^ * Delta v ^ * v $

$ v ^ * v = Delta ^ * Delta v ^ * v $

$ (1- Delta ^ * Delta) v ^ * v = 0 $

Dado que $ v $ no es igual a cero.

Por eso

$ 1- Delta Delta ^ * = 0 implica Delta ^ * Delta = 1 $

$ | Delta | ^ 2 = 1 implica | Delta | = 1 $.

Una matriz unitaria $ U $ conserva el producto interior: $ langle Ux, Ux rangle = langle x, U ^ * Ux rangle = langle x, x rangle $.

Así que si $ lambda $ es un valor propio, $ Ux = lambda x $, obtenemos $ vert lambda vert ^ 2 langle x, x rangle = langle lambda x, lambda x rangle = langle Ux, Ux rangle = langle x, x rangle $.

Entonces $ vert lambda vert ^ 2 = 1 implica vert lambda vert = 1 $.

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