Si encuentras algún fallo con tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes añadir el código al proyecto final.
Solución:
Si $A$ es simétrica y tiene valores propios positivos, entonces, por el teorema espectral para matrices simétricas, existe una matriz ortogonal $Q$ tal que $A = Q^top Lambda Q$con $Lambda = textdiag(lambda_1,dots,lambda_n)$. Si $x$ es cualquier vector distinto de cero, entonces $y := Qx ne 0$ y
$$ x^top A x = x^top (Q^top Lambda Q) x = (x^top Q^top) Lambda (Q x) = y^top Lambda y = suma_i=1^n lambda_i y_i^2 > 0 $$
ya que $y$ es distinto de cero y $A$ tiene valores propios positivos.
Por el contrario, supongamos que $A$ es definida positiva y que $Ax = lambda x$con $x ne 0$. WLOG, podemos suponer que $x^superior x = 1$. Por lo tanto,
$$0 < x^top Ax = x^top (lambda x) = lambda x^top x = lambda, $$
como se desee.
Este es un (boceto de una) prueba cuando la matriz simétrica $A$ es real. Sean $u_1, ldots, u_n$ los vectores propios linealmente independientes que corresponden a los valores propios positivos $lambda_1, ldots, lambda_n$ de la matriz simétrica real $A$. Además, sea $z = c_1 u_1 + cdots + c_nu_n$ un vector real aleatorio $n times 1 $ con $zneq vec 0$. Así, tenemos:
$z^TAz beginarray[t]l= (c_1 u_1^T + cdots +c_n u_n^T) PDP^-1(c_1 u_1 + cdots +c_n u_n)\\ = beginpmatrix c_1 |u_1| ^2_2 & c_2 |u_2|^2_2& cdots & c_n |u_n|^2_2 endpmatrixcdot beginpmatrix lambda_1 & 0 & cdots & 0\ 0 & lambda_2 & cdots & 0\ vdots & vdots & ddots & vdots\ 0 & 0 &cdots & lambda_n endpmatrixcdot beginpmatrix c_1|u_1|^2_2 \ c_2|u_2|^2_2 \ vdots \ c_n|u_n|^2_2 endpmatrix\ =lambda_1 c_1^2 +cdots + lambda_n c_n^2, end{arrayPS
que es claramente positivo debido a los $lambda_i$ positivos y también contiene $|u_i|_2^2 =u_i^Tcdot u_i= 1$.
Creo que puedes completar los detalles.
Solo para aclarar las cosas..
Como la matriz $A$ es realmente simétrica, se puede escribir de la forma $$A = P cdot D cdot P^-1 = P cdot D cdot P^T,$$ donde las columnas de $P$ contienen los vectores propios de la derecha de la matriz $A$ y $P^-1 (= P^T$) contienen los vectores propios de la izquierda como sus filas. Por lo tanto, si los $u_i$ son los vectores propios de la derecha, entonces los $u_i^T $ son los vectores propios de la izquierda de $A$. Entonces, se cumple: $$u_i^T cdot u_j = begincases 1, & i = j\ 0,& ineq j endcases$$