Estate atento porque en este tutorial encontrarás la contestación que buscas.
La órbita de $ x $ es “todo lo que se puede alcanzar desde $ x $ mediante una acción de algo en $ G $”.
El estabilizador de $ x $ es “el conjunto de todos los elementos de $ G $ que no mueven $ x $ cuando actúan sobre $ x $”.
Aquellos ya parecen bastante intuitivos … ¿qué más se puede decir?
Supongo que es posible que desee observar las órbitas y los estabilizadores para acciones particulares. Por ejemplo, si un grupo actúa sobre sí mismo por conjugación, entonces la órbita de un elemento es la clase de conjugación de ese elemento. Un elemento estabiliza a otro en esta acción exactamente cuando se desplazan.
Algunos ejemplos pueden aclarar estas definiciones.
Sea $ G $ el grupo circular, $$ G = z in mathbb C: . $$ Este es el círculo unitario en $ mathbb C $, y es un grupo bajo multiplicación. De la misma manera, $ G $ actúa sobre $ X = mathbb C $ por multiplicación. Geométricamente, la multiplicación por $ z = e ^ i theta $ actúa sobre $ mathbb C $ por rotación por el ángulo $ theta $. Ahora, si arreglamos algunos $ x in mathbb C $, la órbita a través de $ x $ será exactamente el círculo de radio $ | x | $ centrado en el origen, a menos que $ x = 0 $, en cuyo caso la órbita será solo el punto $ 0 $.
¿Qué hay de los estabilizadores? Sea $ x in mathbb C $, y sea $ G ^ x $ su estabilizador. Si $ x neq 0 $, entonces $ zx = x $ si y solo si $ z = 1 $, y entonces $ G ^ x = 1 $. Por otro lado, si $ x = 0 $ entonces $ zx = x $ para todos los $ z en G $, y entonces $ G ^ x = G $.
Aquí hay un ejemplo con estabilizadores más interesantes. Sea $ G $ ahora el grupo diedro de orden 8,
$$ G = rho, tau: rho ^ 4 = e, tau ^ 2 = e, tau rho tau = rho ^ – 1 . $$
Esto actúa sobre el conjunto $ X = 1,2,3,4 $ de vértices de un cuadrado
con $ rho $ actuando por rotación en sentido antihorario por $ frac pi 4 $ radianes y $ tau $ actuando por reflexión a través de la línea roja. De esta manera, los elementos de $ G $ constan de cuatro rotaciones (a través de $ 0, frac pi 4, frac pi 2 $ y $ frac 3 pi 4 $ radianes) y cuatro reflejos (horizontalmente, verticalmente y a través de cada una de las dos diagonales). Tenga en cuenta que cada vértice puede enviarse a cualquier otro vértice dado mediante una rotación adecuada, por lo que la órbita de cada vértice es $ 1,2,3,4 $. ¿Cuál es el estabilizador de, digamos, $ 3 $? Ninguna de las rotaciones no triviales fija $ 3 $, y el único reflejo que fija $ 3 $ es $ tau $, por lo que el estabilizador de $ 3 $ es $ e, tau $.
Un poco sobre las acciones grupales:
En álgebra y geometría, una acción de grupo es una descripción de simetrías de objetos que utilizan grupos. Los elementos esenciales del objeto se describen mediante un conjunto, y las simetrías del objeto se describen mediante el grupo de simetría de este conjunto, que consiste en transformaciones biyectivas del conjunto. En este caso, el grupo también se denomina grupo de permutación (especialmente si el conjunto es finito o no un espacio vectorial) o grupo de transformación (especialmente si el conjunto es un espacio vectorial y el grupo actúa como transformaciones lineales del conjunto).
Una acción de grupo es una extensión de la definición de un grupo de simetría en el que cada elemento del grupo “actúa” como una transformación biyectiva (o “simetría”) de algún conjunto, sin ser identificado con esa transformación. Esto permite una descripción más completa de las simetrías de un objeto, como un poliedro, al permitir que el mismo grupo actúe sobre varios conjuntos diferentes de entidades, como el conjunto de vértices, el conjunto de aristas y el conjunto de caras de el poliedro.
Si $ G $ es un grupo y $ X $ es un conjunto, entonces una acción de grupo puede definirse como un homomorfismo de grupo $ h $ de $ G $ al grupo simétrico de $ X $. La acción asigna una permutación de $ X $ a cada elemento del grupo de tal manera que la permutación de X asignada al elemento de identidad de $ G $ es la transformación de identidad (no hacer nada) de $ X $; un producto gh de dos elementos de $ G $ es la composición de las permutaciones asignadas a $ g $ y $ h $.
Dado que cada elemento de $ G $ se representa como una permutación, una acción de grupo también se conoce como representación de permutación.
Consulte también la entrada del blog de Gowers para una discusión “realista” sobre las acciones grupales.
- Acciones grupales (i)
Oribts
Las propiedades definitorias de un grupo garantizan que el conjunto de órbitas de (puntos x en) $ X $ bajo la acción de $ G $ forman una dividir de X. El asociado relación de equivalencia se define diciendo $ x sim y $ si y solo si existe un $ g en G $ con $ gx = y. $ Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación; dos elementos $ x $ y $ y $ son equivalentes si y solo si sus órbitas son las mismas; es decir, $ Gx = Gy $.
Si tiene tiempo libre, puede encontrar este video de You Tube, Órbitas de acción grupal servicial.
Puntos fijos y subgrupos de estabilizadores
Dado $ g en G $ y $ x en X $ con $ gx = x $, decimos que $ x $ es un punto fijo de $ g $ y $ g $ fija $ x $.
Por cada $ x en X $, definimos el subgrupo estabilizador de $ x $ como el conjunto de todos los elementos en $ G $ que corrigen $ x $:
$$ G_x = g in G mid gx = x . $$
$ G_x $ es un subgrupo de $ G $, aunque normalmente no es uno normal.
Además, Wikipedia analiza órbitas y estabilizadores y cómo se relacionan, en su entrada “Acción grupal”.
Vea también la entrada del blog de seguimiento de Gowers para una discusión “realista” sobre acciones grupales, órbitas y estabilizadores:
- Acciones grupales ii: teorema del estabilizador de órbita