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Mantendré esto en el nivel de la escuela secundaria, sin la expansión de Taylor, es un tema bastante avanzado. Así que sólo l’Hôpital y límites estándar.
Suponga que tiene que calcular un límite de la forma
$$ lim_xto cfracf(x)g(x)tag* $$
y que sepas que, por alguna función $h$, tu también tienes
$$ lim_xto cfrach(x)g(x)=1 $$
entonces puedes reescribir
como
$$ lim_xto cfracf(x)h(x)frach(x)g(x) $$
Como consecuencia de los teoremas de límites, si
$$ lim_xto cfracf(x)h(x)=l $$ entonces también el límite estarán
$l$
también.
En tu caso puedes notar que
$$ 1=lim_xto0fracx^3sin(x^3)=lim_xto0fracx^4xsin(x^3 ) $$
y así puedes reducir a la informática
$$ lim_xto0frace^x^2+2cos x-3x^4 $$
eso es mucho menos exigente en términos de l’Hôpital. Vamos a aplicarlo para obtener $$ lim_xto0frac2xe^x^2-2sin x4x^3=lim_xto0fracxe^x^2- sin x2x^3tag** $$Ahora, ¿cuál es el límite que vi hace unos días con el seno y
$x^3$
? ¡Si, ese! $$ lim_xto0fracx-sin xx^3=frac16 $$ OK, vamos a restar y sumar
$x$
en el numerador de (**): $$ lim_xto0fracxe^x^2-x+x-sin x2x^3= lim_xto0frac12 izquierda(frace^x^2-1x^2+fracx-sin xx^3derecha) =frac12izquierda( 1+frac16right)=frac712 $$ Tienes demasiadas copias del$sen x^3$en tu denominador después de la primera derivada, así que demos un paso atrás. Si está preparado para usar la serie de Taylor, $$beginaligne^x^2+2cos x-3&=1+x^2+frac12x^4+2-x^2+frac112x^4 -3+o(x^4)\&simfrac712x^4,\xsen x^3&sim x^4,endalign$$entonces el limite es
$frac712$ .Primero ataquemos solo el numerador, diferenciando repetitivamente hasta que ya no obtengamos cero. Dejar
$N = mathrme^x^2 + 2 cos x – 3$
. beginalign* fracmathrmdmathrmdx N &= 2 x mathrme^x^2 – 2 sin x xrightarrowx rightarrow 0 0 text, \ fracmathrmd^2mathrmdx^2 N &= (4 x^2 +2)mathrme^x ^2 – 2 cos x xrightarrowx rightarrow 0 0 text, \ fracmathrmd^3mathrmdx^3 N &= (8 x^3 +12 x)mathrme^x^2 + 2 sin x xrightarrowx rightarrow 0 0 text, \ fracmathrmd^4 mathrmdx^4 N &= (16 x^4 +48x^2+12)mathrme^x^2 + 2 cos x xrightarrowx rightarrow 0 14 text. endalinear*Ahora deja
$D = x sin x^3$
. Si alguna de sus tres primeras derivadas es distinta de cero, nuestro límite es cero. En caso contrario, la cuarta derivada resolverá el valor del límite. beginalign* fracmathrmdmathrmdx D &= 3 x^3 cos x^3 + sin x^3 xrightarrowx rightarrow 0 0 text, \ fracmathrmd^2mathrmdx^2 D &= 12 x^2 cos x^3 – 9x^5 sin x^3 xrightarrowx rightarrow 0 0 text, \ fracmathrmd^3mathrmdx^3 D &= (24x – 27 x^7) cos x ^3 – 81 x^4 sin x^3 xrightarrowx rightarrow 0 0 text, \ fracmathrmd^4mathrmdx^4 D &= (24 – 432 x^6) cos x^3 + (-396 x^3 + 81 x^9) sen x^3 xrightarrowx rightarrow 0 24 text. end alinear*Entonces el límite es
$frac1424 = frac712$
.
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