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Solución:
No exactamente.
Para la función uno a uno, cada elemento en $X$ se asigna a un elemento único en $Y$. Por lo tanto, hay $M$ formas de mapear el primer elemento en $X$, y $M-1$ formas de mapear el segundo, etc. Debe haber totalmente $M!/(MN)!$ formas de uno- mapeo a uno cuando $Mgeq N$. cuando $ millones
Para la función onto, parece que no existe una fórmula simple y no recursiva para el número de funciones onto.
Ver número de Stirling
Claramente, si n < m no puede haber funciones sobre de A a B, porque bajo una función, cada elemento de A puede corresponder a un solo elemento de B.
Si n = m tenemos una biyección. El primer elemento de A puede asignarse a cualquiera de los m elementos de B. El segundo elemento de A puede asignarse a cualquiera de los m – 1 elementos restantes de B, y así sucesivamente. Así que el número total de funciones sobre es m!.
Si n > m, no existe una fórmula cerrada simple que describa el número de funciones sobre. Necesitamos contar el número de particiones de A en m bloques. Por ejemplo, si n = 3 ym = 2, las particiones de los elementos a, b y c de A en 2 bloques son: ab,c; ca,b; a.c.,a. Luego, cada una de estas particiones describe una función de A a B. Por ejemplo, la primera partición, ab,c, dice que a y b corresponden a un elemento de B, y c corresponde al otro. Una vez que hemos contado las particiones multiplicamos por m!, tal como en el caso de la biyección, porque para cada partición el primer bloque puede mapear a cualquiera de los m elementos de B, y así sucesivamente.
El problema es que no existe una forma simple y no recursiva de calcular el número de particiones de un n-conjunto en m bloques. Estos números se conocen como números de Stirling de segunda especie; consulte la referencia a continuación. Ver también las secciones 2.1.8 y 2.1.9 del enlace “Twelvefold Way”.
Entonces, la mejor respuesta que podemos dar para el caso n ≥ m es: m! S(n,m), donde S(n,m) es un número de Stirling de segunda especie.
Al final de la post puedes encontrar las referencias de otros usuarios, tú también tienes la libertad de insertar el tuyo si lo crees conveniente.