Ya no tienes que buscar más en internet porque estás al espacio exacto, contamos con la solución que quieres sin problemas.
Solución:
En líneas generales, un operador (que actúa sobre un espacio de funciones) lleva funciones a funciones (por ejemplo, $f(x)$ a $-i f'(x)$). Por otro lado, un funcional lleva funciones a números (piense en cierta integral, o la derivada evaluada en cierto punto).
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Un operador es un mapa (no necesariamente lineal) de un espacio o módulo vectorial$^1$ a otro.
En la teoría de operadores, por lo general se supone implícitamente que los operadores son lineales.
En mecánica cuántica, por lo general se supone implícitamente que los operadores son lineales o antilineales. (¡Sin embargo, vea el teorema de Wigner!)
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Un funcional es un mapa (no necesariamente lineal) de un espacio vectorial$^1$ a un campo.
En los temas de cálculo de variaciones y mecánica lagrangiana, los funcionales suelen ser no lineales.
En el análisis funcional, por lo general se supone implícitamente que los funcionales son lineales.
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$^1$ Esta es la definición de Wikipedia (octubre de 2016). Sin embargo, dado que el mapa no es necesariamente lineal, en general no hay razón para insistir en la estructura del espacio vectorial en primer lugar. Por ejemplo, los físicos llamarían funcional a la acción WZW, incluso si su dominio técnicamente no es un espacio vectorial.
Matemáticamente, tenemos muchas palabras que se refieren todas a la misma idea general: la preciso El significado de una palabra no es de definición universal, sino de convención lingüística que se desarrolla en varios temas (e incluso entonces no siempre es consistente).
Dicho esto, en mi experiencia (como matemático), en contextos de álgebra lineal, “funcional” casi siempre se reserva para funciones lineales con valores escalares, y “operador” generalmente se usa para un elemento de algún tipo de álgebra cuando uno tiene la intención de trabajar con representaciones de ese álgebra (por ejemplo, el álgebra de endomorfismos lineales del espacio de funciones complejas sobre los reales, con su representación de actuar sobre dicho espacio de funciones).
El uso de “funcional” en el sentido de cualquier tipo de función cuyo dominio incluya funciones tiende a ocurrir más en dominios como la lógica formal o la informática.
Te invitamos a añadir valor a nuestra información participando con tu experiencia en las notas.