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Solución:
Matemáticamente hablando, un mapeo y una función son lo mismo. Llamamos a la relación
$$ f=(x,y)in Xtimes Y : textPara todo $x$ existe un único $y$ tal que $(x,y)in f$ $$
a función desde $X$ para $Y$denotado por $f:Xa Y$. A cartografía es solo otra palabra para una función, es decir, una relación que empareja exactamente un elemento de $Y$ a cada elemento de $X$.
En la práctica, a veces se prefiere una palabra a otra, según el contexto.
La palabra cartografía generalmente se usa cuando queremos ver $f:Xa Y$ como una transformación de un objeto a otro. Por ejemplo, un mapeo lineal $T:V a W$ significa que queremos ver $T$ como una transformación de $ven V$ al vector $TVen W$. Otro ejemplo es un mapa conforme, que transforma un dominio en $Bbb C$ a otro dominio.
La palabra función se usa más a menudo y en varios contextos. Por ejemplo, cuando queremos ver $f:Xa Y$ como un gráfico en $Xveces Y$.
Básicamente, no hay diferencia entre el mapeo y la función. En álgebra, se usa la noción de operación que es lo mismo que mapeo o función. La noción de relación es más general. Las funciones son relaciones específicas (aquellas que son totales a la izquierda y únicas a la derecha).
En lenguaje matemático:
Las palabras ‘función’ y ‘mapeo’ son sinónimos en la mayoría de los contextos. Formalmente, la definición de una función $f$ requiere que para cada valor $x$ en el dominio existe un único valor $y$ en el codominio tal que $y=f(x)$*.
una relacion es ninguna asignación de valores en un conjunto a valores en otro, sin importar si la asignación es única o no. Por ejemplo, si $(X,Y,R)$ es la relación de un dominio $XsubconjuntomathbbR$ a un rango $YsubconjuntomathbbR$ tal que $xRyiff x=y^2$entonces el conjunto de todos los puntos $left(x,y)inmathbbR^2mid x=y^2right$ es un relaciónpero no un funciónporque hay dos valores $yen Y$ tal que $y^2=x$ para cada $xen X$.
Vale la pena señalar que, si bien toda función es una relación, no toda relación es una función. Como afirmó Wuestenfux, una función es el caso especial de una relación que es tanto total por la izquierda como única por la derecha.
En inglés:
Una función es una relación donde cada entrada corresponde a una sola salida. Una relación con más de una salida para cada entrada sigue siendo una relación, pero no es una función. Por ejemplo, $y=pmsqrtx$ es una relación, porque se relaciona $x$ para $y$pero no una función, porque hay dos valores ($sqrtx$ y $-sqrtx$) para cada entrada $x$.
Con respecto a la respuesta del usuario 2662833:
Creo que lo que el usuario2662833 está tratando de decir es que si bien no todas las relaciones son una función, una relación sobre $n$ variable que es no una función, contiene las entradas a una función de $n$ variables para las cuales esa función es constante. En el ejemplo dado los puntos $(x,y)$ especificado por la ecuación $x^2+y^2=4$ son los puntos por los cuales $f(x,y)=x^2+y^2-4$ es $0$y $g(x,y)=x^2+y^2$ es 4
Con una restricción adicional, esto podría reformularse como “toda relación de $n$ variables contiene todos los ceros de una función de $n$ variables”.
Este debería seguir siendo el caso fuera de los números reales.
*En el análisis complejo, específicamente, esto no siempre es necesario ya que algunos autores prefieren considerar ciertas ‘funciones multivaluadas’ complejas como funciones.
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