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Solución:
El gradiente es un vector; apunta en la dirección del ascenso más empinado.
La derivada direccional es un número; es la tasa de cambio cuando su punto en $Bbb R^3$ se mueve en esa dirección. (Puede imaginarse “reduciendo” su función a una función de una sola variable, digamos $t$, al “cortar” la curva en esa dirección; la derivada direccional es simplemente la derivada 1-D de esa función “cortada”. )
Tenga cuidado de que la derivada direccional de una función sea un escalar mientras que el gradiente es un vector.
La única diferencia entre derivado y derivado direccional es la definición de esos términos. Recuerda:
- La derivada direccional es la tasa de cambio instantánea (que es un escalar) de $f(x,y)$ en la dirección del vector unitario $u$.
- La derivada es la tasa de cambio de $f(x,y)$, que se puede pensar en la pendiente de la función en un punto $(x_0,y_0)$.
Sí, el gradiente viene dado por el vector fila cuyos elementos son las derivadas parciales de $g$ con respecto a $x$, $y$ y $z$, respectivamente. En su caso, el gradiente en $(x,y,z)$ es, por lo tanto, $[-3x^2,9y^2,2z+2]ps El gradiente en $(2,1,-1)$ es por lo tanto $[-12,9,0]ps
La derivada direccional en un punto $(x,y,z)$ en dirección $(u,v,w)$ es el gradiente multiplicado por la dirección dividido por su longitud. Entonces, si $u^2+v^2+w^2=1$, la derivada direccional en $(x,y,z)$ en la dirección $(u,v,w)$ es solo $-3x^2 u + 9y^2v + (2z+2)w$.
Si $u^2+v^2+w^2neq 1$ entonces debes dividir el número anterior por $sqrtu^2+v^2+w^2$.
En resumen, el gradiente es un vector con la pendiente de la función a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas, mientras que la derivada direccional es la pendiente en una dirección especificada arbitrariamente.
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