Solución:
Como ya ha descubierto, hay $ ^ {10} P_4 = 5040 $ contraseñas que no repiten ningún dígito.
De este número debemos restar las contraseñas cuyos dígitos aumentan o disminuyen. Todas estas contraseñas se pueden generar seleccionando cuatro dígitos de los diez sin tener en cuenta el orden – hay $ binom {10} 4 = 210 $ formas de hacerlo – y luego organizarlas en orden creciente o decreciente según sea necesario. Como tenemos dos opciones de orden, restamos $ 210 cdot2 = 420 $ contraseñas.
Por lo tanto, hay $ 5040-420 = 4620 $ contraseñas con dígitos únicos que no aumentan ni disminuyen.
Hay $ binom {10} 4 $ formas de seleccionar $ 4 $ dígitos distintos.
Con la condición de que no haya aumento ni disminución, se pueden organizar de $ 4! -2 $ formas.
Entonces eso da un total de: $$ binom {10} 4 left (4! -2 right) $$ posibilidades.