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Solución:
Creo que su problema principal es que todavía está tratando de pensar en este ejercicio como una manipulación algebraica de rutina. No es exactamente así.
El caso es que aquí tenemos un objetivo / meta para asegurar que se mantenga cierta desigualdad. En la pregunta actual, el objetivo es garantizar que $$ | x ^ 2-9 | < epsilon $$ No se supone que debemos encontrar todos los valores de $ x $ para lo cual se cumple la desigualdad anterior (similar a resolver ecuaciones como $ x ^ 2 = 9 $). El problema no es exactamente algebraico. Más bien, lo que deseamos es encontrar un rango de valores de $ x $ cerca $ 3 $ para lo cual se puede asegurar esta desigualdad. Tal rango de valores de $ x $ puede o no existir. Nuestra tarea es demostrar que tal rango de valores de $ x $ cerca $ 3 $ siempre existe no importa qué $ epsilon $ es dado.
La técnica consiste en reemplazar la desigualdad objetivo por una más simple. Entonces tenemos que encontrar alguna expresión $ g (x) $ que es más simple en forma y satisface $$ | x ^ 2-9 | y luego reemplace el objetivo con asegurarse de que $ g (x) < epsilon $. Por lo tanto, nuestro objetivo original debe lograrse mediante una combinación de dos objetivos más simples. $ | x ^ 2-9 | y $ g (x) < epsilon $.
El problema ahora es elegir un adecuado $ g (x) $ y para encontrar un rango de valores de $ x $ cerca $ 3 $ lo que puede garantizar que se cumplan ambos subobjetivos. Aquí es donde uno tiene un gran apalancamiento y el problema es mucho más simple de lo que parece. Tenemos $$ | x ^ 2-9 | = | x + 3 || x-3 | $$ Ahora escojamos cualquier rango específico de valores de $ x $ cerca $ 3 $, decir $ | x-3 | <1 $ (esto es totalmente según su deseo, pero en general el rango debe ser tal que sea posible la simplificación deseada en lo que sigue). Y $$ | x + 3 | leq | x-3 | +6 <7 $$ y por lo tanto tenemos $$ | x ^ 2-9 | = | x + 3 || x-3 | <7 | x-3 | $$ para el rango de valores de $ x $ dada por $ | x-3 | <1 $.
Así podemos elegir $ g (x) = 7 | x-3 | $ y uno de los subobjetivos se logra para el rango $ | x-3 | <1 $. El otro objetivo ahora es más simple $$ 7 | x-3 | < epsilon $$ Obviamente, esto se puede lograr mediante el rango de valores de $ x $ dada por $ | x-3 | < epsilon / 7 $ (si esto no es obvio para usted, entonces necesita ver cómo funcionan las desigualdades en general).
Entonces, para los dos objetivos, hemos encontrado dos rangos de valores de $ x $ a saber $ | x-3 | <1 $ y $ | x-3 | < epsilon / 7 $ lo que asegura que se cumplan los objetivos respectivos. Dado que queremos asegurarnos de que ambos objetivos se cumplan simultáneamente, debemos tratar con el rango de valores de $ x $ que son comunes a ambos $ | x-3 | <1 $ y $ | x-3 | < epsilon / 7 $. Esto es posible si $ | x-3 | < min (1, epsilon / 7) $ y terminamos estableciendo $ delta = min (1, epsilon / 7) $ y nuestro rango deseado de valores de $ x $ es $ | x-3 | < delta $.
Lo importante a notar aquí es que nuestro problema original para asegurar que alguna desigualdad sea reemplazado por dos problemas mucho más simples (pero no necesariamente equivalentes). Esto contrasta bastante con la resolución de ecuaciones como $ x ^ 2-9 = 0 $ donde el problema se reduce a dos más simples y equivalente problemas $ x-3 = 0, x + 3 = 0 $.
El hecho de que tengamos que simplificar el problema sin preocuparnos por la equivalencia nos da una gran ventaja aquí. Sin embargo, la mayoría de los principiantes no se dan cuenta de esto y, en cambio, se enfocan en resolver desigualdades (donde el problema se puede simplificar pero solo a uno equivalente) y este es uno de los obstáculos para comprender y aplicar la definición de límite.
Más formalmente, la desigualdad objetivo $$ | f (x) – L | < epsilon $$ no es una hipótesis sino una conclusión en una larga cadena de implicaciones lógicas. Además, por definición, las implicaciones involucradas son unidireccionales y no es necesario hacer ningún esfuerzo adicional para garantizar innecesariamente una implicación bidireccional. Y presentamos nuestro argumento como “la conclusión objetivo, digamos $ A $, sostiene si (no si) $ B, C, puntos $ mantener y así sucesivamente hasta que lleguemos a una etapa en la que podamos ver rangos de valores de $ x $Así que la cadena de implicaciones se calcula al revés.
Usando sus propias palabras de la pregunta: cómo $$ | x + 3 || x-3 | < epsilon $$ y $$ | x + 3 || x-3 | Conducir a $$ | x-3 | < epsilon / C $$ no es la pregunta correcta, pero debería preguntar cómo $$ | x-3 | < epsilon / C $$ y $$ | x + 3 || x-3 | Conducir a $$ | x + 3 || x-3 | < epsilon $$ Este es el flujo lógico deseado y ahora le parecerá obvio. Sin embargo, la cuestión es que las implicaciones lógicas individuales deben resolverse a la inversa, comenzando desde la conclusión hasta las hipótesis.
Años de entrenamiento en manipulación algebraica, que son en su mayoría implicaciones directas o bidireccionales, hacen que las cosas en el análisis sean un poco sorprendentes (si no difíciles) cuando tenemos que lidiar con implicaciones unidireccionales a la inversa. Por lo tanto, cambiamos de “$ A $ implica $ B $” a “$ B $ aguanta si $ A $ sostiene “.
- El autor solo dice que si $ | x + 3 || x-3 |, entonces$$ | x-3 | < frac varepsilon C implica | x + 3 || x-3 |
- Si tu defines $ delta = min left 1, frac varepsilon7 right $, Entonces sí $ | x-3 | < delta $, tú lo sabes $ | x-3 | <1 $ y eso $ x-3 | < frac varepsilon7 $. Y el autor demostró que, cuando se mantienen ambas desigualdades, $ | x + 3 || x-3 | < varepsilon $.
Proposición 1: Deja $ p, v, M in Bbb R $ con $ v, M gt 0 $.
Dejar $ f $ ser una función de valor real que se define en el intervalo PS[p-v,p+v]PS satisfactorio
$ etiqueta 1 Displaystyle lim _ x ap f (x) = 0 $
Dejar $ g:[p-v,p+v] a Bbb R $ ser dado y satisfacer $ | g (x) | le M $ para todos $ x $ en su dominio.
Entonces la función $ h (x) = f (x) g (x) $ definido sobre PS[p-v,p+v]PS satisface
$ etiqueta 2 displaystyle lim _ x ap h (x) = 0 $
Prueba
Deja el desafío $ varepsilon gt 0 $ ser enviado para $ text (2) $.
Por $ text (1) $, por el numero $ varepsilon_f = frac varepsilon M $ un correspondiente $ delta_f gt 0 $ se puede especificar de modo que
$ quad 0 lt | x – p | lt delta_f text implica | f (x) | lt varepsilon_f $
Colocar $ delta = text min ( delta_f, v) $. Es fácil ver eso
$ quad 0 lt | x – p | lt delta text implica | h (x) | lt varepsilon $
y así la validez de $ text (2) $ Ha sido establecido. $ quad blacksquare $
Para el problema del OP, configure
$ f (x) = x – 3 $
$ g (x) = x + 3 $
$ p = 3 $
$ v = 1 $
Ahora, si lo comprobamos, vemos que el $ | g (x) | le 7 $ sobre PS[2,4]PS así que listo $ M = 7 $.
Para cualquier $ varepsilon $ presentado para $ Displaystyle lim_ x to3 x ^ 2 = 9 $, podemos ‘$ text gire la manivela de la proposición 1 $‘, y deja
$ quad delta = text min ( frac varepsilon 7, 1) $
Tenga en cuenta que desde $ f (x) = x -1 $ tiene pendiente igual a $ 1 $, $ , delta_f = epsilon_f $.
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