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Solución:
La mayor diferencia entre una preimagen y la función inversa es que la preimagen es un subconjunto del dominio. La inversa (si existe) es una función entre dos conjuntos.
En ese sentido son dos animales muy distintos. Un conjunto y una función son objetos completamente diferentes.
Entonces, por ejemplo: la inversa de una función $ f $ podría ser: La función $ g: mathbb R a mathbb R: g (x) = sqrt[3]x-9 $. Considerando que la preimagen de un conjunto $ B $ de la función podría ser PS[1,3.5)cup e, pi^2$.
Now $g(x) = sqrt[3]x-9 $ y PS[1,3.5)cup 7, pi^2$ are completely different types of things.
This will be the case if $f$ is $f:mathbb R to mathbb R: f(x) = x^3 + 9$ and $B= [10, 51.875) cup 352, pi^6 + 9$.
The inverse $f^-1(x)$ (if it exist) is the function $g$ so that if $f(x) = y$ if and only if $g(y) = x$. So if $f(x) = x^3 + 9 = y$ then if such a function exists it must be that $g(y)^3 + 9 = y$ so $g(y)^3 = y-9$ and $g(y) = sqrt[3]y-9 $ entonces $ g (x) = sqrt[3]x-9 $.
Eso es eso.
La imagen previa de $ A = [10, 51.875) cup 352, pi^6 + 9$ is the set $xin mathbb R=$
$ x^3 + 9 in [10, 51.875) cup 352, pi^6 + 9\=$
$ x^3 in [1, 42.875) cup 343, pi^6 \=$
$ x in [1, 3.5) cup 7, pi^2 \=$
$[1, 3.5) cup 7, pi^2 \}$.
And that’s the other.
……..
Now that’s not to say the inverse of a function and the pre-image of a set under the function aren’t related. They are. But they refer to different concepts. This is similar to how a rectangle and its area are related. But one is a geometric shape… the other is a positive real number. THey are two different types of animals.
….
I’ll add more in an hour or so but I have to take the dog for a walk. I’ll be back.
…..
It occurred to me as I was walking the dog that maybe what is confusing you is that the inverse function (if it exists) and the preimage of a set have very similar notation and the only way to tell them apart is in context.
If $f$ is invertible then the inverse function is written as $f^-1$ so if $f(x) = x^3 + 9$ then $f^-1(x) = sqrt[3]x-9 $.
Pero la preimagen de $ B $ bajo $ f $ya sea $ f $ es invertible o no está escrito como $ f ^ – 1 (B) $.
Así que si $ f (x) = x ^ 3 + 9 $ entonces $ f ^ – 1 (17) = 2 $ significa que si entras $ 17 $ en la función $ sqrt x -9 $ usted obtiene $ 2 $. Pero $ f ^ – 1 ( 17 ) = 3 $ y $ f ^ – 1 ( 36,17 ) = 2,3 $ significa ese conjunto de valores que generarán $ 17 $ es el set $ 2 $ y el conjunto de valores que generarán $ 36,17 $ es el set $ 2,3 $.
Algunas cosas a tener en cuenta:
Si $ f $es invertible entonces la preimagen de un conjunto es lo mismo que la imagen del conjunto bajo la función inversa y eso significa que la notación es compatible.
Si $ f (x) = x ^ 3 + 9 $ entonces $ f ^ – 1 ([1,36)) = [1,3)$ can be interpretated as both the the image of the set under the inverse function: $f^-1([1,36))= f^-1(x) = g(x) = sqrt[3]x-9 $
OR it can be interpreted as the preimage for $f$: $f^-1([1,36)) = f(x) in [1,36)$.
but this is not the case if $f$ is not invertible.
Say $f:mathbb R to [-1,1]; f (x) a sin x $. Esto no es invertible.
La imagen previa de$ B = frac sqrt 2 2 $ es $ …- frac 11 pi 4, – frac 9 pi 4, – frac 3 pi 4, – frac pi 4, frac pi 4, frac 3 pi 4, frac 9 pi 4, frac 11 pi 4, …. $ esto todavía está escrito como $ f ^ – 1 ( frac sqrt 2 2 ) $ aunque no hay función $ f ^ – 1:[-1,1] a mathbb R $.
Otra cosa a tener en cuenta es que no todos los elementos en $ B $ debe tener valores de preimagen.
Si $ f = x ^ 2 + 9 $ entonces $ f ^ – 1 ( 8 ) = juego vacío $. Esto es porque $ f (x) = x ^ 2 + 9 in 8 = juego vacío $.
Y algunos elementos pueden tener muchos preimágenes.
Y $ sin ^ – 1 ( frac sqrt2 2 $ presentado.
Cuando hablamos de pre-imagen entonces tiene dos componentes: un conjunto y una función. Entonces cuando decimos $ f ^ – 1[B]PS, entonces queremos la imagen previa del colocar$ B $ (un subconjunto del co-dominio) bajo el función$ f $. Entonces, preguntar sobre la imagen previa de una función es un poco ambiguo.
Dejenos considerar $ f: 1,2,3 rightarrow a, b, c $ tal que $ f (1) = a, f (2) = a $ y $ f (3) = c $. Entonces
begin align * f ^ – 1 left[a\right] & = 1,2 \ f ^ – 1 left[c\right] & = 3 \ f ^ – 1 left[a,c\right] & = 1,2,3 \ f ^ – 1 left[b\right] & = conjunto vacío \ f ^ – 1 left[a,b,c\right] & = 1,2,3 end align *
La función $ f $ (como se describe arriba) no es invertible. Así que relatando el función inversa (que no existe) a la imagen inversa no tiene sentido en este caso.
Se puede comprobar la invertibilidad de una función. $ f: A flecha derecha B $ comprobando las imágenes inversas de subconjuntos singleton del co-dominio.
Lo que significa es que: si podemos asegurar que para cada $ b en B $, el conjunto de imágenes inversas $ f ^ – 1 left[b\right]PS tiene exactamente un elemento (esto es para asegurar tanto uno-uno como en tonos), luego $ f $ es invertible.
Entonces, no existe la preimagen de una función. Las funciones pueden tener inversas; Las funciones no tienen imágenes previas.
Un inverso es algo que tienen ciertas funciones, y la inversa de una función es otra función.
Dada una función, un preimagen es algo que conjuntos tener, y la preimagen de un conjunto es otro conjunto.
Específicamente:
Dada una función $ f: A a B $, esa función puede tener o no una inversa. Si es así, entonces la inversa es una función. $ B a A $.
Dada una función $ f: A a B $y un juego $ s $ que es un subconjunto de $ B $, ese conjunto siempre tiene una preimagen debajo $ f $. Esa preimagen es un subconjunto de $ A $.
Eso podría aclarar algo de su confusión.
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