¿Cómo puedo dibujar una curva de trazado con vectores y puntos usando tex?

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Solución:

Aquí hay un en gran parte adivinado punto de partida

documentclass[tikz,margin=3mm]standalone
usepackagepgfplots
pgfplotsset
    compat=1.16,
    drawline/.style=-,black,
    drawarrows/.style=
        stealth-,
        blue!50!green,
        point meta=rawx,
        quiver=
            u=-x,
            v=-y,
            every arrow/.append style=
                opacity= -1==#1),
                        coordindex/pgfkeysvalueof/pgfplots/samples,
                        0
                    )
                ,
            ,
        ,
        mark=*,mark size=1pt,mark options=fill=black,draw=black,
        %nodes near coords=pgfmathprintnumbercoordindex,
        %node near coords style=above,font=tiny,
        %opacity= -1==#1),1,0),
    ,
    customaxis/.style=
        domain=pi/2:4*pi,
        samples=200,
        width=5cm,
        height=5cm,
        scale only axis,
        axis x line=center,
        axis y line=center,
        xtick=empty,
        ytick=empty,
        enlargelimits=true,
        xlabel=$x$,
        ylabel=$y$,
        clip=false,
    ,

begindocument
    begintikzpicture
        beginaxis[customaxis]
            addplot[drawline] (cos(deg(x)),x^2);
            addplot[drawarrows=100] (cos(deg(x)),x^2);
        endaxis
    endtikzpicture

    begintikzpicture
        beginaxis[customaxis]
            addplot[drawline] (cos(deg(x)),x^2)
            node[below right,pos=0] $t=-1$
            node[below right,pos=0.2] $t=0$
            node[above,pos=0.4] $t=1$
            node[above left,pos=0.6] $t=2$
            node[above left,pos=0.8] $t=3$
            node[above,pos=1] $t=4$;

            addplot[drawarrows=-1] (cos(deg(x)),x^2);
        endaxis
    endtikzpicture
enddocument

APÉNDICE Solo porque se ve bien (mi nuevo avatar)

documentclass[tikz,margin=3mm]standalone
usepackagepgfplots
usepgfplotslibrarycolormaps
usetikzlibraryarrows.meta
pgfplotsset
    compat=1.16,
    drawarrows/.style=
        Circle-,thick,point meta=pgfkeysvalueof/pgfplots/samples-coordindex,
        quiver=u=-x,v=-y,colored=mapped color,
        ,
    customaxis/.style=
        domain=9*pi/2:pi/2,
        samples=1000,
        width=5cm,
        height=5cm,
        scale only axis,
        clip=false,
        hide axis,
        colormap/hsv,
    ,

begindocument
begintikzpicture
    beginaxis[customaxis]
        addplot[drawarrows] (cos(deg(x)),x^2);
    endaxis
endtikzpicture
enddocument

tkz-fct no es exactamente la herramienta ideal para hacer este tipo de trabajo pero puedes probar

documentclassstandalone 
usepackagetkz-euclide,tkz-fct

begindocument 

begintikzpicture[scale=1.25]
  tkzInit[xmin=-50,xmax=50,xstep=10,
           ymin=-50,ymax=50,ystep=10]
   tkzDefPoint(0,0)O
  tkzFctPar[smooth,samples=200,domain=0:50]t*sin(t)t*cos(t) 
foreach t [count=i] in 0,10,...,50
defxtt*sin(t)
defytt*cos(t)  
tkzDefPoint(xt,yt)ai
tkzDrawPoint(ai)
tkzDrawSegment[->](O,ai)

endtikzpicture

enddocument

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