Solución:
Sé que esta pregunta es bastante antigua, pero he estado buscando una respuesta durante un tiempo y acabo de recibirla, así que aquí está.
Puedes Instalar en pc compositor en un hosting compartido de Godaddy: no, no puedes.
PERO
El alojamiento compartido de Godaddy solía usar un panel de control heredado. Si su cuenta de alojamiento compartido es antigua, lo más probable es que la esté utilizando. Pero, Godaddy se ha trasladado a cPanel para el alojamiento de Linux y todas las nuevas compras de alojamiento compartido de Linux ahora vienen con él. La buena noticia es que hay una versión de Composer instalada en estas cuentas (actualmente es 1.1.1).
Siga este enlace para ver las versiones de software en las cuentas de hosting de Godaddy.
Estaba hablando por teléfono con el soporte técnico de Godaddy y me confirmaron que Composer se instaló de forma inmediata para las cuentas de alojamiento de cPanel.
Espero que ayude.