Cómo hacer un círculo dentro de otro usando CSS

Solución:

¡Ta da!

Explicado en los comentarios de CSS:

 #outer-circle {
   background: #385a94;
   border-radius: 50%;
   height: 500px;
   width: 500px;
   position: relative;
   /* 
    Child elements with absolute positioning will be 
    positioned relative to this div 
   */
 }
 #inner-circle {
   position: absolute;
   background: #a9aaab;
   border-radius: 50%;
   height: 300px;
   width: 300px;
   /*
    Put top edge and left edge in the center
   */
   top: 50%;
   left: 50%;
   margin: -150px 0px 0px -150px;
   /* 
    Offset the position correctly with
    minus half of the width and minus half of the height 
   */
 }

<div id="outer-circle">
  <div id="inner-circle">

  </div>
</div>

No necesitas elementos adicionales en CSS3

Puede hacerlo todo con un elemento y una sombra de caja.

Demostración de JSFiddle.

CSS

#outer-circle {
    background: #385a94;
    border-radius: 50%;
    height:300px;
    width:300px;
    position: relative;
    box-shadow: 0 0 0 100px black;
    margin:100px;
}

Usar position: relative en el círculo exterior, position:absolute en el círculo interior y establezca todos los desplazamientos en el mismo valor. Deje que el cálculo automático de altura y ancho maneje el resto (JSFiddle):

#outer-circle {
    position:relative;
    background: #385a94;
    border-radius: 50%;
    height:500px;
    width:500px;
}
#inner-circle { 
    position:absolute;
    background: #a9aaab;
    border-radius: 50%;
    right: 100px;
    left: 100px;
    top: 100px;
    bottom: 100px;
    /* no margin, no width, they get automatically calculated*/
}

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