Luego de indagar en varios repositorios y sitios de internet al concluir descubrimos la resolución que te compartimos ahora.
Según el teorema de Lagrange, el orden de un subgrupo divide a 24, por lo que buscamos subgrupos de los órdenes 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Repasamos la lista, a menudo usando los teoremas de Sylow:
- Los subgrupos de orden 1 y 24 son obviamente únicos.
Los subgrupos de orden 2 están en correspondencia 1–1 con elementos de orden 2, por lo que obtienes 4-elige-2 = 6 transposiciones $ langle (i, j) rangle $ y 4-elige-2-sobre-2 = 3 transposiciones dobles $ langle (i, j) (k, l) rangle $.
- Nueve subgrupos de orden 2, todos cíclicos, dos clases de conjugación
Según el teorema de Sylow, los subgrupos de orden 3 son todos conjugados, por lo que $ langle (1,2,3) rangle $, $ langle (1,2,4) rangle $, $ langle (1,3,4 ) rangle $ y $ langle (2,3,4) rangle $.
- Cuatro subgrupos de orden 3, todos conjugados al grupo alterno de grado 3
La talla 4 es desordenada, así que la demoro.
Un subgrupo de orden 6 debe tener un subgrupo Sylow 3 normal, por lo que debe vivir dentro del normalizador (dentro de S4) de un subgrupo Sylow 3. Los subgrupos 3 de Sylow son solo los diversos grupos alternos de grado 3, y sus normalizadores son varios grupos simétricos de grado 3, por lo que son exactamente los 4 subgrupos de orden 6.
- cuatro subgrupos de orden 6, $ langle (i, j), (i, j, k) rangle $ parametrizados por conjuntos $ i, j, k subset 1,2,3,4 $ de talla 3.
Todos los subgrupos de orden 8 están conjugados por el teorema de Sylow, por lo que solo tenemos $ langle (i, k), (i, j, k, l) rangle $ que es diedro.
- tres subgrupos de orden 8, todos conjugados, todos diedros
Un subgrupo de orden 4 es un subgrupo de un subgrupo 2 de Sylow, por lo que o cíclico $ langle (i, j, k, l) rangle $ o uno de los dos tipos de 4 subgrupos de Klein $ langle (i, j), (k, l) rangle $ (3 subgrupos), o el true K4 $ langle (i, j) (k, l), (i, k) (j, l) rangle $ (normal).
- siete subgrupos de orden 4, tres clases de conjugación
Un subgrupo de orden 12 tiene un subgrupo normal de Sylow 2 (y los únicos subgrupos de orden 4 con normalizadores que tienen elementos de orden 3 son K4 con el normalizador A4) o un subgrupo normal de Sylow 3, pero en el último caso el normalizador de un subgrupo de Sylow 3 es solo de tamaño 6, no 12.
- un subgrupo de orden 12, el grupo alterno de grado 4
Esos eran todos los pedidos posibles, y para cada pedido probamos que cualquier subgrupo de ese orden tenía una forma específica, y luego contamos cuántos tenían esa forma.
Bueno, el primer paso sería escribir $ S_4 $:
$$ S_4 = (1), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (142), (124), (134), (143), (234), (243), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12) (34), (13) (24), (14) (23) $$
Eso es un subgrupo menos (29 para el final).
A continuación, considere los subgrupos isomorfos a $ mathbb Z_2 $. Eso es cualquier elemento del pedido $ 2 $ (de la lista a continuación) y la identidad (9 en total):
$$ (12), (13), (14), (23), (24), (34), (12) (34), (13) (24), (14) (23) $$
Pase a los isomorfos a $ mathbb Z_3 $. Hay ocho ciclos de $ 3 $ en $ S_4 $ y cada subgrupo único debe contener dos de ellos, por lo que hay un total de 4.
Ahora, $ mathbb Z_4 $. Considere $ langle (1234) rangle $. Tenemos $ (1), (1234), (13) (24), (1432) $ y dos más como este.
A partir de aquí, sigue revisando la lista. Piense en los elementos que necesita para formar un tipo de isomorfismo en particular y luego averigüe de cuántas maneras puede formar cada tipo. Por ejemplo, si tiene un subgrupo ismórfico a $ D_8 $, necesitará un subgrupo cíclico de orden $ 4 $ (tenemos tres de esos) y 4 elementos de orden $ 2 $.
Incluyendo lo que ya hemos creado, debería haber 4 subgrupos isomórficos al grupo 4 de Klein (cada uno contiene 3 elementos de orden $ 2 $), 4 a $ S_3 $ (piense en este como elegir 3 elementos de $ 1,2,3,4 $ y considerando las permutaciones en este nuevo conjunto de tres símbolos), 3 a $ D_8 $ (nuevamente, estamos limitados por el “subgrupo de rotaciones” cíclico, $ A_4 $ sea el único subgrupo del pedido $ 12 $, y no olvide $ (1) $.
Sé que llego tarde, pero esto podría ser útil para las personas que vienen aquí en busca de una respuesta.
Para encontrar todos los subgrupos, debe revisar cada elemento y ver qué genera. Para empezar, enumere el grupo
S4 = (1), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (142), (124), (134) , (143), (234), (243), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12) (34), (13) (24) , (14) (23)
Repite cada elemento y observa qué genera. Para averiguar qué genera un elemento, lo multiplica por sí mismo hasta obtener la identidad. Todos los elementos que obtienes al multiplicar son parte del subgrupo. La cantidad de veces que necesita hacer esto será el orden o la cantidad de elementos en el subgrupo. A continuación, se muestran algunos ejemplos de cómo generar subgrupos.
<(1)> = (1)
<(1 2)> = (1), (1 2)
(1 2) (1 2) = (1)
<(1 3)> = (1), (1 3)
(1 3) (1 3) = (1)
<(1 2 3)> = (1), (1 2 3), (1 3 2)
(1 2 3) (1 2 3) = (1 3 2)
(1 2 3) (1 2 3) (1 2 3) = (1 3 2) (1 2 3) = (1)
<(1 2 3 4)> = (1), (1 2 3 4), (2 4) (1 3), (1 4 3 2)
(1 2 3 4) (1 2 3 4) = (2 4) (1 3)
(1 2 3 4) (1 2 3 4) (1 2 3 4) = (1 4 3 2)
(1 2 3 4) (1 2 3 4) (1 2 3 4) (1 2 3 4) = (1)
<(1 2)(3 4)> = (1), (1 2) (3 4)
(1 2) (3 4) (1 2) (3 4) = (1)
Algunos de los subgrupos generados se duplicarán. Sin embargo, no habrá más de 4! = 24 porque esa es la cantidad de elementos que hay para generar subgrupos.
Espero que esto haya ayudado y avíseme si cometí algún error.
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