Cómo encontrar los vectores propios comunes de dos matrices con valores propios distintos

Hay otra forma más de usar el teorema fundamental del álgebra lineal (* suspiro ante ese desafortunado nombre):

null( [null(col1.').' ; null(col2.').'] )

La fórmula que obtuve de aquí. Creo que ftla es la razón por la que debería funcionar. Si ese no es el motivo o si quiere estar seguro de que la fórmula funciona (lo que probablemente debería), pregunte a un separar pregunta. Solo tenga en cuenta que las preguntas puramente matemáticas deben ir en un sitio de stackexchange diferente.

¡Ahora supongo que hemos terminado!

EDITAR 1:

Seamos más claros sobre cómo ia funciona con un ejemplo. Digamos que nombramos todo con un final 1 por A y 2 por B. Nosotros necesitamos

for i=1:numel(ia1)
    for j=1:numel(ia2)
        if i==numel(ia1)
            col1 = W1(:,ia1(end):end);
        else
            col1 = W1(:,ia1(i):ia1(i+1)-1);
        end
        if j==numel(ia2)
            col2 = W2(:,ia2(j):ia2(j+1)-1);
        else
            col2 = W2(:,ia2(end):end);
        end
        check_linear_dependency(col1,col2);
    end
end

EDITAR 2:

Debo mencionar la observación de que los vectores propios comunes deben ser los del espacio nulo del conmutador. Por lo tanto, tal vez null(A*B-B*A) produce el mismo resultado.

Pero aún esté alerta a los errores numéricos. Con el método de fuerza bruta, comenzamos con pares propios con baja tol (vea la definición en las secciones anteriores) y así ya verificamos la parte "eigen" en los autovectores. Con null(A*B-B*A), también debería hacerse lo mismo.

Por supuesto, con varios métodos a mano, es una buena idea comparar los resultados entre métodos.

Sospecho que se trata de un asunto bastante delicado.

En primer lugar, matemáticamente, A y B son simultáneamente diagonalizables si se conmutan, es decir, si

A*B - B*A == 0 (often A*B-B*A is written [A,B])
(for if A*X = X*a and B*X = X*b with a, b diagonal then
A = X*a*inv(X), B = X*b*inv(X) 
[A,B] = X*[a,b]*inv(X) = 0 since a and b, being diagonal, commute)

Entonces, diría que lo primero que debe verificar es que su A y B se conmuten, y aquí está el primer problema incómodo: desde [A,B] como es poco probable que el cálculo sea todo ceros debido a un error de redondeo, deberá decidir si [A,B] ser distinto de cero se debe solo a un error de redondeo o si, en realidad, A y B no se desplazan.

Ahora suponga que x es un vector propio de A, con valor propio e. Luego

A*B*x = B*A*x = B*e*x = e*B*x

Y entonces tenemos, matemáticamente, dos posibilidades: o Bx es 0, o Bx es también un autovector de A con autovalor e.

Un buen caso es cuando todos los elementos de a son diferentes, es decir, cuando cada espacio propio de A es unidimensional. En ese caso: si AX = Xa para la diagonal a, entonces BX = Xb para la diagonal b (que deberá calcular). Si diagonaliza A, y todos los valores propios son suficientemente diferentes, entonces puede asumir que cada espacio propio es de dimensión 1, pero ¿qué significa "suficientemente"? Otra pregunta delicada, ay. Si dos autovalores calculados son muy cercanos, ¿son los autovalores diferentes o es el error de redondeo de la diferencia? De todos modos, para calcular los autovalores de b para cada autovector x de A, calcule Bx. Si || Bx || es lo suficientemente pequeño en comparación con || x || entonces el valor propio de B es 0, de lo contrario es

x'*B*x/(x'*x) 

En el caso general, algunos de los espacios propios pueden tener una dimensión mayor que 1. Los espacios propios unidimensionales pueden tratarse como se indicó anteriormente, pero se requieren más cálculos para los de dimensiones superiores.

Suponga que m autovectores x[1].. X[m] de A corresponden al valor propio e. Dado que A y B se desplazan, es fácil ver que B mapea el espacio abarcado por las x a sí mismo. Sea C la matriz mxm

C[i,j] = x[j]'*B*x[i]

Entonces C es simétrica y entonces podemos diagonalizarla, es decir, encontrar la V ortogonal y la diagonal c con

C = V'*c*V

Si definimos

y[l] = Sum k  l=1..m

luego un poco de álgebra muestra que y[l] es un autovector de B, con autovalor c[l]. Además, dado que cada x[i] es un vector propio de A con el mismo valor propio e, cada y[l] es también un autovector de A con autovector e.

Entonces, en general, creo que un método sería:

1. Calcular [A,B] y si realmente no es 0, ríndete
2. Diagonalice A y ordene los autovalores para que sean crecientes (¡y ordene los autovectores!)
3. Identifique los espacios propios de A. Para los espacios unidimensionales, el vector propio correspondiente de A es un vector propio de B, y todo lo que necesita calcular es el valor propio de B. Para los espacios de dimensión superior, proceda como en el párrafo anterior.

Una manera relativamente cara (en esfuerzo computacional) pero razonablemente confiable de probar si el conmutador es cero sería calcular el svd del conmutador y tomar el valor singular más grande, digamos c, y también tomar el valor singular más grande (o el valor absoluto más grande valor de los valores propios) a de A y b de B. A menos que c sea mucho más pequeño (por ejemplo, 1e-10 veces) el menor de ayb, debe concluir que el conmutador no es cero.

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