este problema se puede resolver de diferentes maneras, por lo tanto te damos la respuesta más completa en nuestra opinión.
Solución:
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Un método es simplemente el algoritmo de Euclides:
beginalign* 31 &= 4(7) + 3\ 7 &= 2(3) + 1. endalign*
Asi que $1 = 7 – 2(3) = 7 – 2(31 – 4(7)) = 9(7) – 2(31)$. Ver la ecuación $1 = 9(7) -2(31)$ módulo $31$ da $ 1 equiv 9(7)pmod31$entonces el inverso multiplicativo de $7$ módulo $31$ es $9$. Esto funciona en cualquier situación en la que desee encontrar el inverso multiplicativo de $a$ módulo $m$siempre que, por supuesto, tal cosa exista (es decir, $mcd(a,m) = 1$). El Algoritmo de Euclides te da una manera constructiva de encontrar $r$ y $s$ tal que $ar+ms = gcd(a,m)$pero si logras encontrar $r$ y $s$ de otra manera, eso también lo hará. Tan pronto como tengas $ar+ms=1$Eso significa que $r$ es el inverso modular de $a$ módulo $m$ya que la ecuación da inmediatamente $arequiv 1 pmodm$. -
Otro método es jugar con fracciones el método de Gauss:
$$frac17 = frac1times 57times 5 = frac535 = frac54 = frac5times 84times 8 = frac4032 = frac91.$$
Aquí, reduce el módulo $31$ en su caso, y lo único que debe tener cuidado es que solo debe multiplicar y dividir por cosas relativamente primos al módulo. Aquí, desde $31$ es primo, esto es fácil. En cada paso, simplemente multipliqué por el número más pequeño que produciría una reducción; así que primero multipliqué por $5$ porque ese es el múltiplo más pequeño de $7$ eso es mas grande que $32$y luego multipliqué por $8$ porque era el múltiplo más pequeño de $4$ eso es mas grande que $32$. Agregado: Como señala Bill, el método puede fallar para módulos compuestos.
Ambos métodos anteriores funcionan para el módulo general, no solo para un módulo primo (aunque el Método 2 puede fallar en esa situación); por supuesto, solo puedes encontrar inversos multiplicativos si el número es relativamente primo al módulo.
Actualizar. Sí, su método para congruencias lineales generales es el estándar. Tenemos un método muy directo para resolver congruencias de la forma $$ax equiv bpmodm,$$
es decir, tiene soluciones si y sólo si $mcd(a,m)|b$en cuyo caso tiene exactamente $mcd(a,m)$ módulo de soluciones $m$.
Para resolver tales ecuaciones, primero considera el caso con $mcd(a,m)=1$en ese caso $axequiv bpmodm$ se resuelve encontrando el inverso multiplicativo de $a$ módulo $m$o como hice en el método $2$ arriba mirando $fracba$.
Una vez que sepa cómo resolverlos en el caso de que $mcd(a,m)=1$puede tomar el caso general de $mcd(a,m) = d$y de
$$axequiv bpmodm$$
ir a
$$fracadx equiv fracbdpmodfracmd,$$
para obtener la solución única $mathbfx_0$. Una vez que tenga esa solución única, obtendrá todas las soluciones a la congruencia original considerando
$$mathbfx_0,quad mathbfx_0 + fracmd,quad mathbfx_0 + frac2md,quadldots, mathbfx_0 + frac(d-1)md.$$
Sabemos que $(7,31) = 1$. Entonces puedes usar el algoritmo euclidiano extendido. En particular, puede encontrar dos enteros $s,t$ tales que $7s+31t = 1$. Entonces $7s equiv 1 pmod 31$.
Una pista: intenta usar el pequeño teorema de Fermat:
$a^p-1=1 mod p$ para $p$ primo, y todo $aen mathbbZ$.
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