Contamos con el resultado a esta duda, o por lo menos eso deseamos. Si continuas con alguna pregunta puedes escribirlo en el apartado de comentarios y sin dudarlo te ayudaremos
Solución:
Insinuación:
Todo lo que tienes que saber es la suma de los $n$ primeros términos de una serie geométrica, que es una fórmula de la escuela secundaria: $$1+q+q^2+dots +q^n=frac1-q ^n+11-qqquad (qne 1),$$de donde podemos deducir: $$q^r+q^r+1+dots +q^n= q^r(1+q+dots+q^nr)=q^rfrac1-q^n-r+11-q=fracq^rq^n +11-q.$$ Si $lvert qrvert<1$, estas sumas tienen límites $;dfrac11-q;$ y $;dfrac{q^r 1-q;$ respectivamente.
¿Qué debo hacer cuando necesito un límite de suma infinita? (¿hay alguna regla general?)
En general, no, no existen tales reglas. Hay tipos específicos de series para las que se sabe cómo calcular el límite (como las series geométricas). Hay muchas más recetas para averiguar si una serie converge o no (encontrar el límite es mucho más difícil). Pero también aquí el libro de cocina es limitado. Como otros ya señalaron, sus dos series son series geométricas, cuyo límite se puede calcular fácilmente.
$$colorred1+frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 8 + ldots + frac 12^n$$ Es un ejemplo de $ $1+x+x^2+x^3+ldots+x^n$$ Donde la razón entre un número $a_n$ y el anterior $a_n-1$ es constante y es $x$. Esta es la suma de una progresión geométrica y es bastante fácil ver que su valor es $$frac1-x^n+11-x$$ Cuando $ntoinfty$ la suma converge solo si $|x|<1$ porque si es así $x^n+1to 0$ y la suma es $$sum_n=0^inftyx^n=frac 11-x$$ En tu primer ejemplo, $x=frac12$ y el índice $n$ comienza en $n=1$, por lo que la suma es $$sum_n=1^infty left(frac12right)^n=frac11-frac12-1=colorred1$$ El segundo es $$lim_ntoinfty1 - frac 1 3 + frac 1 9 - frac 1 27 + cdots + frac (-1)^n3^n=sum_n=0^ inftyleft(-frac13right)^n=frac11-left(-frac13right)=colorredfrac34$$
Espero que esto sea útil
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