Solución:
La función gamma está definida por la siguiente integral, que converge para $ s> 0 $ reales: $$ Gamma (s) = int_0 ^ infty t ^ {s-1} e ^ {- t} dt. $$
La función también se puede extender al plano complejo, si está familiarizado con ese tema. Asumiré que no y dejaré que $ s $ sea real.
Esta función es como el factorial cuando $ s $ es un entero positivo, digamos $ s = n $, satisface $ Gamma (n) = (n-1)! $. Generaliza el factorial en el sentido de que es el factorial para argumentos de enteros positivos, y también está bien definido para números racionales positivos (e incluso reales). Esto es lo que significa tomar un “factorial racional”, pero dudaría en llamarlo así. Muchas funciones tienen esas dos propiedades, y $ Gamma $ se elige entre todas ellas porque es la más útil en otras aplicaciones. En lugar de la notación utilizada en ese artículo al que se refiere, sería más preciso que dijera que “la función gamma toma estos valores para estos argumentos”. Gamma no es una función que pretenda generalizar factoriales; más bien, la generalización de los factoriales surgió como una especie de accidente después de la definición. Su verdadero propósito es más profundo.
En cuanto a por qué $ Gamma (1/2) = sqrt { pi} $, esto proviene de una propiedad interesante de la función $ Gamma $: algunos de ellos están aquí http://en.wikipedia.org/ wiki / Gamma_function # Propiedades. La propiedad que le interesa es la fórmula de reflexión: $$ Gamma (1-z) Gamma (z) = frac { pi} { sin ( pi z)}. $$ Set $ z = 1 / 2 $ en la fórmula para obtener la identidad deseada.
Si desea obtener más información sobre la función gamma, lo difícil es aprender muchas más matemáticas, en particular análisis reales y complejos. Una forma más sencilla es leer este excelente conjunto de notas: http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html.
La función gamma, mostrada con una gamma $ Gamma $ en mayúscula griega, es una función que extiende la función factorial a todos los números reales, excepto a los enteros negativos y cero, para los cuales no está definida. $ Gamma (x) $ está relacionado con el factorial en que es igual a $ (x-1)! $. La función se define como
$$ Gamma (z) = frac {1} {z} prod_ {n = 1} ^ infty frac { left (1+ frac {1} {n} right) ^ z} {1 + frac {z} {n}} $$
Simplemente use esto para calcular factoriales para cualquier número. Una forma práctica de calcular fracciones reales con denominadores pares es:
$$ Gamma ( tfrac12 + n) = {(2n)! over 4 ^ nn!} sqrt { pi} $$
Dónde norte es un número entero. Pero tenga en cuenta que la función gamma es en realidad el factorial de 1 menos que el número que evalúa, así que si quiere $ frac {3} {2}! $ Use norte = 2 en lugar de 1.
O bien, podría simplemente poner la fracción en Google Calculator, que usa la función gamma para evaluar factoriales de cualquier número.
Para ver algunos ejemplos más de los valores de la función gamma, consulte aquí.
(Si no entiende esto, no se preocupe, porque yo tampoco, y el artículo de Wikipedia sobre la función parece carecer de una definición clara de la misma o de cómo se relaciona con $ sqrt { pi} PS
Si bien la respuesta es sin duda el $ Gamma $ de Euler, todavía me preguntaba cuál podría ser una explicación intuitiva adicional de por qué es así.
Creo que de alguna manera es más comprensible para la función Beta estrechamente relacionada y en vista de la fórmula que involucra el seno mencionada en la respuesta de Neuguy anterior.
Mira $ sin ( pi z) $. Sus ceros son precisamente todos números enteros. Por eso es periódico: tiene que volver a cero en cada número entero y exactamente de la misma manera que en cualquier otro número entero.
De hecho, hay una fórmula (creo que de Euler) $$ cdots (1- frac z {-3}) (1- frac z {-2}) (1- frac z {-1}) z (1- frac z1) (1- frac z2) (1- frac z3) cdots = frac1 pi sin ( pi z) $$ reflejando precisamente eso.
Ahora suponga que queremos averiguar qué sucederá si excluimos $ 0 $, $ 1 $, …, $ n $ del conjunto de ceros. La función resultante permanecerá cero en todos los demás enteros, mientras que en el intervalo $ -1
Es decir, sea $$ F_n (z): = cdots (1- frac z {-3}) (1- frac z {-2}) (1- frac z {-1}) (1- frac z {n + 1}) (1- frac z {n + 2}) (1- frac z {n + 3}) cdots = frac { frac1 pi sin ( pi z)} {z (1- frac z1) (1- frac z2) cdots (1- frac zn)}, $$ entonces resulta que $ F_n (z) = binom nz $.
Por ejemplo:
begin {array} {rcl} z & F_4 (z) & textrm {(numéricamente)} \ vdots & vdots & vdots \ -2 & 0 & 0. \ -1,75 & – frac {4096 sqrt {2}} {168245 pi} & -0.0109593 \ -1.5 & – frac {256} {3465 pi} & -0.0235173 \ -1.25 & – frac {4096 sqrt {2}} {69615 pi} & -0.0264864 \ -1 & 0 & 0. \ -0.75 & frac {4096 sqrt {2}} {21945 pi} & 0.0840213 \ -0.5 & frac {256} {315 pi} & 0.25869 \ -0.25 & frac {4096 sqrt {2}} {3315 pi} & 0.556214 \ 0 & 1 & 1. \ 0.25 & frac {4096 sqrt {2}} {1155 pi} y 1.59641 \ 0.5 & frac {256} {35 pi} y 2.32821 \ 0.75 & frac {4096 sqrt {2}} {585 pi} y 3.15188 \ 1 y 4 y 4. \ 1.25 & frac {4096 sqrt {2}} {385 pi} y 4.78922 \ 1.5 & frac {256} {15 pi} y 5.43249 \ 1.75 & frac {4096 sqrt {2} } {315 pi} y 5.85349 \ 2 y 6 y 6. \ 2.25 & frac {4096 sqrt {2}} {315 pi} y 5.85349 \ 2.5 & frac {256} {15 pi } Y 5.43249 \ 2.75 & frac {4096 sqrt {2}} {385 pi} y 4.78922 \ 3 y 4 y 4. \ 3.25 & frac {4096 sqrt {2}} {585 pi } Y 3.15188 \ 3.5 & frac {256} {35 pi} y 2.32821 \ 3.75 y frac {4096 sqrt {2}} {1155 pi} & 1.59641 \ 4 & 1 & 1. \ 4.25 & frac {4096 sqrt {2}} {3315 pi} & 0.556214 \ 4.5 & frac {256} {315 pi} & 0.25869 \ 4.75 & frac {4096 sqrt {2}} {21945 pi} & 0.0840213 \ 5 & 0 & 0. \ 5.25 & – frac {4096 sqrt {2}} {69615 pi} y -0.0264864 \ 5.5 y – frac {256} {3465 pi} y -0.0235173 \ 5.75 y – frac {4096 sqrt {2}} {168245 pi} y -0.0109593 \ 6 y 0 y 0. \ 6.25 & frac {4096 sqrt {2}} {348075 pi} y 0.00529727 \ 6.5 & frac {256} {15015 pi} y 0.00542706 \ 6.75 & frac {4096 sqrt {2}} {648945 pi} & 0.0028413 \ 7 & 0 & 0. \ vdots & vdots & vdots end {array}
La forma en que todo esto se relaciona con los factoriales y $ Gamma $ debe ser clara: uno tiene $$ binom nz = frac {n!} {Z! (Nz)!}, Gamma (x) = frac {x !} x $$ y $$ mathrm B (x, y) = frac { Gamma (x) Gamma (y)} { Gamma (x + y)}. $$ En otras palabras, $ 1 / Gamma (z) $ tiene ceros precisamente en enteros no positivos, entonces $ 1 / Gamma (kz) $ tiene ceros precisamente en $ k $, $ k + 1 $, $ k + 2 $, …, así que si queremos combinar estos para una función con ceros en todos los enteros excepto $ 0 $, $ 1 $, …, $ n $ deberíamos tomar $ frac1 { Gamma (1 + z) Gamma (n + 1-z)} $ que resulta ser $ frac1 {n!} binom nz $.