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Solución:
Si sabe que $A$ es positivo definido simétrico, entonces el desplazamiento espectral $B = A-lambda_max I$ funcionará. Usa el método de la potencia en $B$, luego agrega $lambda_max$ al resultado para obtener el valor propio más pequeño de $A$.
La razón por la que este cambio funciona es que una matriz definida positiva tiene todos los valores propios positivos. Por lo tanto, $B$ tiene todos los valores propios no positivos, con el valor propio más pequeño de $A$ ahora el valor propio de mayor magnitud (más negativo) de $B$. El método de potencia entonces encontrará ese valor propio.
El mismo enfoque funciona para matrices definidas negativas, por la misma razón.
Una respuesta creativa general a esta pregunta se puede componer de la siguiente manera:
1) Su matriz simétrica/hermítica $H$ tiene un espectro con valores propios positivos y negativos. Suponga que puede calcular el valor propio con el valor absoluto máximo $omega$ utilizando el método de potencia.
2) Desplace la matriz por una constante $lambda$ para apuntar a la parte del espectro que le interesa $H-lambda I$. En caso de que esté interesado en el valor propio de menor magnitud $lambda = 0$.
3)Eleva al cuadrado tu matriz $H’= (H-lambda I)^2$. Esto hará que su matriz sea definida positiva.
4) Ahora el valor propio deseado será lo más cercano a cero, mientras que el cambio en el valor propio de mayor magnitud se puede calcular de forma trivial. También puede usar el hecho de que el espectro de la matriz estará limitado por la norma de Hilbert-Schmidt y evitar el paso 1.
5)Desplazamiento por el valor propio/límite máximo $H’=H’- max(spec(H’))I$. Ahora tendrá una matriz definida negativa con el valor propio objetivo $x’$ que tiene la magnitud más alta que puede calcular usando el método de potencia.
6) Resuelva para la variable $x$: $x’=(x-lambda)^2+max(spec(H’))$ No tiene la información de si su valor propio inicial fue positivo o negativo, pero esto se puede encontrar multiplicando la matriz original por el vector propio.
En caso de que tenga una matriz hermitiana, debe usar el producto interno definido para espacios complejos de Hilbert.
Supongamos que $A$ es invertible y tiene valor propio $lambda$. Entonces $A^-1$ tiene un valor propio $lambda^-1$: esto se sigue directamente de la ecuación del vector propio $$Av = lambda v Rightarrow fracvlambda = A^ -1v.$$
Dado que el valor propio más pequeño de $A$ es el valor propio más grande de $A^-1$, puede encontrarlo usando la iteración de potencia en $A^-1$:
$$v_i+1 = A^-1 fracv_iv_i.$$
Desafortunadamente, ahora tiene que realizar una solución lineal en cada iteración (o calcular una descomposición de $A$), en lugar de simplemente tomar productos de matrices y vectores.