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Solución:
Insinuación el polinomio $f(x) := x^5 + 15 x + 12$ es einstein en $3$, por lo que es irreducible, y por lo tanto $nombre del operadorGal(f)$ es un subgrupo transitivo de $S_5$, a saber, uno de $S_5, A_5, F_20, D_10, C_5$. El discriminante de $f$ es $Delta:= 2^10 3^4 5^5$, que no es un cuadrado, entonces $nombre del operadorGal(f) notleq A_5$, dejando solo las posibilidades $S_5$ y $F_20$. Para distinguir entre estas posibilidades, calcule y factorice la resolución de Cayley $R$ de $f$.
Recuerde que una quíntica irreducible $f$ es solucionable por radicales iff Cayley’s resolvente $R(x) = P(x)^2 – 2^10 Delta x$ tiene una raíz racional; para polinomios $x^5 + hacha + b$, $P(x) = x^3 – 20 ax^2 + 240 a^2 x + 320 a^3$. Evaluando para nuestro polinomio ($a = 15, b = 12$) y la factorización da $R(x) = (x – 180) q(x)$ para algún polinomio quíntico $q$. Por lo tanto, $f$ es resoluble por radicales, entonces $nombre del operadorGal(f) cong F_20$.
Aquí hay un suplemento de la respuesta de Travis, que pruebo una quíntica irreductible sobre $mathbbQ$ es solucionable por radical si su solvente Cayley tiene una raíz racional.
Considere las variables formales $x_1,cdots,x_5$. Denotar $$theta_1 = x_1^2 x_2 x_5 + x_1^2 x_3 x_4 + x_2^2 x_1 x_3 + x_2^2 x_4 x_5 + x_3^2 x_1 x_5 + x_3^2 x_2 x_4 + x_4^2 x_1 x_2 + x_4^2 x_3 x_5 + x_5^2 x_1 x_4 + x_5^2 x_2 x_3$$
El estabilizador de $theta_1$ bajo la acción de $S_5$ es un grupo $ millones, puedes comprobar que tiene orden $20$ (isomorfo a $F_20$). la órbita de $theta_1$ por $S_5$ consta de seis elementos, denotarlos por $\theta_1, cdots, theta_6$. Tenga en cuenta que normalizador de $ millones en $S_5$ es en sí mismo.
Cuándo $x_i$ se sustituyen como raíces de una quíntica irreducible $f$, el solvente de Cayley es definido ser el polinomio $$f_20(x):=(x-theta_1)cdots(x-theta_6)$$ evidentemente esta en $mathbbQ[x]PS.
Si el grupo de Galois $G$ es $S_5$ o $A_5$, entonces $G$ actúa transitivamente sobre $\theta_1, cdots, theta_6$. si uno de $theta_i$ es racional, entonces todas las raíces de $f_20$ son lo mismo. Pero Cayley resolvente de un polinomio irreducible con grupo de Galois que contiene $A_5$ sobre característica $0$ campo tiene raíces distintas, contradicción. Por lo tanto $f_20$ no tiene raíz racional.
Si el grupo de Galois $G$ es $C_5$, $D_5$ o $F_20$, elegimos el conjugado a de $G$ que reside en nuestro $ millones (posible porque $ millones se autonormaliza), entonces $G$ correcciones $theta_1$, entonces $theta_1en mathbbQ$. Esto completa la prueba.
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