Este team especializado pasados algunos días de trabajo y de recopilar de información, obtuvimos la solución, esperamos que te sea útil en tu plan.
Solución:
Si sus 3 puntos son A, B, C, entonces puede usar directamente la fórmula del (medio) producto cruzado:
$$S=dfrac2=dfracmathbfAC 2 $$
es decir (consulte el enlace de Wikipedia para obtener el producto cruzado en $matemáticasR^3$) :
$$S=frac 12 sqrt(y_ABcdot z_AC-z_ABcdot y_AC)^2+(z_ABcdot x_AC-x_ ABcdot z_AC)^2+(x_ABcdot y_AC-y_ABcdot x_AC)^2$$
si $mathbfAB=(x_AB,y_AB,z_AB)$ y $mathbfAC=(x_AC,y_AC,z_AC)$
Digamos que tienes 3 puntos $mathbfA, B, C$. Encuentra el ángulo $theta$ entre $mathbfAB$ y $mathbfAC$ usando el producto escalar (es decir, $mathbfABcdotmathbfAC=|mathbfAB|| mathbfAC|costheta$) y luego puedes encontrar el área del triángulo usando $$ A=frac12|mathbfAB||mathbfAC| sentheta $$
Probablemente una de las mejores formas (y posiblemente la menos intensiva desde el punto de vista computacional) de abordar este problema es con vectores. En este caso tenemos tres puntos, los mantendré como variables arbitrarias para una mejor reproducibilidad.
$$P_1(a_1,a_2,a_3); P_2(b_1,b_2,b_3); P_3(c_1,c_2,c_3)$$
Estos tres puntos se pueden usar para crear dos vectores que comparten el mismo punto inicial. No importa en qué combinación elijamos los puntos, siempre que creemos dos vectores con el mismo punto inicial para luego calcular su vector normal (ortogonal) usando el producto cruz. Una vez que tengamos la ortogonalpodemos obtener su magnitud que equivaldrá a 2 veces el área de dicho triángulo. (La magnitud del ortogonal nos dará el área de un paralelogramo que comparte los mismos lados adyacentes, por lo tanto, al final dividiremos esta área a la mitad para obtener el área del triángulo).
Para crear los vectores a partir de un par de puntos, haga lo siguiente:
$$ vecP_1P_2 =
Aquí hay una imagen básica de lo que haremos:
Una vez que tenga ambos vectores, puede calcular su vector ortogonal tomando su producto cruzlo haces de la siguiente manera:
$$vecu = vecP_1P_2 times vecP_1P_3$$ $$vecu = beginvmatrix mathbf i & mathbf j & mathbf k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ endvmatriz\ $$
$$vecu = beginvmatriz y_1 y z_1\ y_2 y z_2 endvmatrizmathbf i – beginvmatriz x_1 y z_1\ x_2 y z_2 endvmatrizmathbf j + beginvmatriz x_1 & y_1\ x_2 & y_2 endvmatrizmathbf k $$
Esto se reduce a:
$$vecu = (y_1z_2-y_2z_1)mathbf i-(x_1z_2-x_2z_1)mathbf j+(x_1y_2-x_2y_1)mathbf k\=
Una vez que tienes el vector ortogonal del producto vectorial, calculamos su magnitud:
$$|vecu| = sqrt(x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2 = mathbfÁrea de Paralelogramo$$
Finalmente nos queda el área de un paralelogramo compuesto por dos de nuestros triángulos. En este punto hacemos la mitad de la magnitud, y tendremos el resultado deseado.
$$frac2 = mathbfÁrea del Triángulo$$
Comentarios y puntuaciones del tutorial
Recuerda que te concedemos decir si topaste tu interrogante a tiempo.