Posteriormente a consultar expertos en la materia, programadores de deferentes áreas y profesores hemos dado con la solución al dilema y la plasmamos en este post.
Solución:
Esto no debería ser demasiado difícil de hacer en la tierra del usuario: mientras espera al equipo de TikZ, aquí hay un algoritmo simple de Shoelace hecho en Metapost simple. Compilar con mpost o adaptar para lualatex con luamplib.
prologues := 3;
outputtemplate := "%j%c.%outputformat";
vardef shoelace_area(expr p) =
for i=1 upto length p:
+ 1/2 xpart point i of p * ypart point i+1 of p
- 1/2 ypart point i of p * xpart point i+1 of p
endfor
enddef;
beginfig(1);
path t; t = for i=0 upto 4: 100 dir 72i -- endfor cycle;
draw origin -- point 1 of t; label.lft(btex $R=100$ etex, 1/2 point 1 of t);
draw t; dotlabel.rt(decimal shoelace_area(t), origin) withcolor 2/3 red;
draw thelabel(btex $displaystyle A = 5over4R^2sqrt5+sqrt5over2$ etex, origin) scaled 3/4 shifted 30 down;
draw thelabel(btex $A = 2.37764129 R^2$ etex, origin) scaled 3/4 shifted 54 down;
endfig;
end.
La figura del ejemplo lo aplica a un pentágono:
Como he tratado de mostrar, esto te da alrededor de 6 sig. higo. de precisión utilizando la aritmética escalada de MP simple, y si la aplica a algo mucho más grande que esto, obtendrá un desbordamiento aritmético. Pero si compilas con mpost -numbersystem double obtienes una respuesta precisa y menos posibilidades de desbordamiento:
Aplicación de la fórmula Shoelace utilizando Tikbiblioteca z math. Como ejemplo se toma la aplicación compleja en el enlace especificado por @Thruston.
documentclass[margin=3mm]standalone
usepackagetikz
usetikzlibrarymath
usepackagetkz-euclide
tikzmath
x1 = 3; y1 =4;
x2 = 5; y2 =11;
x3 = 12; y3 =8;
x4 = 9; y4 =5;
x5 = 5; y5 =6;
Det = (x1*y2) + (x2*y3) + (x3*y4) + (x4*y5) + (x5*y1)-
(x2*y1) - (x3*y2) - (x4*y3) - (x5*y4) - (x1*y5);
Area = abs (Det / 2);
begindocument
begintikzpicture
tkzInit[xmax=13,ymax=12,xmin=0,ymin=0]
tkzGrid
tkzAxeXY
draw[fill=gray!30](x1,y1)--(x2,y2)--(x3,y3)--(x4,y4)--(x5,y5)--cycle;
tkzText [below](6.5,-1)$A = Area$ ;
endtikzpicture
enddocument
