Eliana, parte de este gran equipo de trabajo, nos hizo el favor de redactar esta crónica ya que conoce muy bien este tema.
Solución:
Anthony Carapetis hace un buen trabajo al describir las geodésicas como caminos más cortos. Quiero abordar su ecuación de cómo se usa la restricción de superficie para calcular realmente la forma de las geodésicas. Para ello utilizaremos el cálculo de variaciones. En cálculo de una sola variable, aprendemos cómo optimizar un funcional con respecto a una variable. En cálculo multivariable, aprendemos a hacer lo mismo con respecto a varias variables. Pero, ¿qué pasa con un número infinito de variables? Supongamos que tenemos una función $ J $ que tiene la forma $$ J (f) = int_a ^ b F (x, f (x), f ‘(x)) , dx. $$ Note que $ J $ toma una función diferenciable $ f $ como entrada, y da un número real como salida. Una de las preguntas que podemos intentar responder con el cálculo de variaciones es “¿qué función $ f $ da el valor mínimo de $ J $?” (una función del tipo $ J $ se llama funcional). Este es el tipo de problema que está preguntando. En su caso, el problema es cuál es el valor mínimo de $$ J (x, y, z) = int_0 ^ T sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘( t) ^ 2 , dt. $$ La única diferencia es que $ J $ es una funcional de tres funciones $ x $, $ y $ y $ z $. Para resolver un problema como este en cálculo regular, tomaríamos una derivada o gradiente y lo pondríamos en cero. Hacemos lo mismo aquí, solo que la derivada que tomamos es un poco diferente. Se llama derivada variacional. Si el funcional toma solo una función como entrada, la derivada toma la forma: $$ frac Particular F Particular F – frac d dx frac Particular F Particular f ‘. $$ En esta derivada estamos tomando derivadas parciales con respecto a las funciones $ f $ y $ f’ $. Esto se hace al igual que $ f $ y $ f ‘$ son variables normales independientes entre sí. Observe también que no tomamos la derivada variacional de $ J $ directamente, sino de $ F $, la función dentro de la integral. Dado que nuestro funcional acepta tres funciones, tenemos que resolver las ecuaciones simultáneas:
$$ frac parcial sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 parcial x – frac d dt frac parcial sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 parcial x’ = 0, $$
$$ frac parcial sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 parcial y – frac d dt frac parcial sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 parcial y’ = 0, $$
$$ frac parcial sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 parcial z – frac d dt frac parcial sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 parcial z’ = 0. $$
¡Pero espera! no hemos utilizado la restricción de que la solución de estas ecuaciones debe estar en la superficie. De hecho, si resuelve las ecuaciones anteriores (y puede, no es demasiado difícil), obtendrá $ x ” (t) = y ” (t) = z ” (t) = 0 $, una línea recta . Para forzar que la solución se encuentre en una superficie, tenemos que hacer algo similar al método de Lagrange para optimizar problemas de optimización multivariables restringidos. En lugar de aplicar la derivada variacional a $ F $, la aplicamos a $ F- lambda f $, para algún número $ lambda $ (recuerde que $ f (x, y, z) = 0 $ representa la superficie). Entonces tenemos que resolver
$$ frac parcial ( sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 – lambda f (x, y, z)) parcial x – frac d dt frac parcial ( sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 – lambda f ( x, y, z)) parcial x ‘ = 0, $$
$$ frac parcial ( sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 -f (x, y, z)) y parcial – frac d dt frac parcial ( sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 -f (x, y, z)) y parcial ‘ = 0, $$
$$ frac parcial ( sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 – lambda f (x, y, z)) parcial z – frac d dt frac parcial ( sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 – lambda f ( x, y, z)) parcial z ‘ = 0. $$
Simplifiquemos esto. Recuerde que estamos tratando $ x $ y $ x ‘$ como independientes, por lo que $ frac partial x partial x’ = 0 $ y $ frac partial x ‘ partial x = 0 $. Lo mismo para $ y $ y $ z $, y todos mixed derivados. Por lo tanto, el problema se reduce a resolver
$$ – lambda frac parcial f (x, y, z) parcial x – frac d dt frac x ‘(t) sqrt x’ (t ) ^ 2 + y ‘(t) ^ 2 + z’ (t) ^ 2 = 0, $$
y lo mismo para $ y $ y $ z $. Esto es realmente difícil de resolver. Se vuelve más fácil si asumimos algo sobre la parametrización. La parametrización es qué tan rápido barremos la curva. Hay múltiples parametrizaciones que dan la misma curva. Existe una parametrización llamada parametrización de la longitud del arco que es una velocidad constante. Si asumimos que la solución está parametrizada en longitud de arco, la longitud de arco derivada con respecto al tiempo es constante, por lo que hay una constante $ C $ de modo que $ sqrt x ‘(t) ^ 2 + y’ (t) ^ 2 + z ‘(t) ^ 2 = C $. Por lo tanto, la ecuación anterior se simplifica a
$$ – lambda frac parcial f (x, y, z) parcial x – frac x ” (t) C = 0. $$
Nuevamente, las mismas ecuaciones para $ y $ y $ z $. Por lo tanto, vemos que solo necesitamos resolver $ -C lambda nabla f = gamma ” (t) $, donde $ gamma (t) $ es la curva. Esta ecuación diferencial aún es difícil de resolver, pero al menos tenemos una oportunidad. ¡Buena suerte!
Busca una geodésica minimizadora. En particular (asumiendo que $ f $ es lo suficientemente bueno para que $ S $ sea una superficie regular) la curva más corta debe satisfacer la ecuación geodésica, que en este caso se reduce a la condición de que $ gamma ” (t) $ es paralela a $ nabla f $.
Esto convierte el problema en una EDO de segundo orden con dos condiciones de contorno, pero solo encontrará soluciones de forma cerrada en casos muy especiales. Incluso una vez que haya encontrado todas las soluciones que unen los dos puntos, aún debe elegir la más corta; en general, hay curvas que satisfacen la ecuación geodésica pero no se minimizan, y es posible que ni siquiera haya una única más corta.
Te mostramos comentarios y valoraciones
Finalizando este artículo puedes encontrar las ilustraciones de otros administradores, tú todavía tienes la opción de dejar el tuyo si te apetece.