Después de de esta larga selección de datos dimos con la respuesta este atolladero que suelen tener muchos usuarios. Te brindamos la respuesta y deseamos resultarte de gran ayuda.
Solución:
Es posible calcular el número de la cantidad máxima de elementos distintos de cero en una matriz triangular inferior (o superior).
La forma más sencilla de hacerlo es escribir una matriz $Ntimes N$:
$$ mathbbA=izquierda[beginarraycccc
a_1,1&a_1,2&cdots&a_1,N\
a_2,1&a_2,2&cdots&a_2,N\
vdots&vdots&vdots&vdots\
a_N,1&a_N,2&cdots&a_N,N\
endarrayright], $$
y observe que para una matriz triangular inferior, los elementos distintos de cero $a_i,j$ tienen $igeq j$. Por lo tanto, los índices de los elementos distintos de cero se identifican por los pares ordenados únicos, $(i,j)$, con $iin[1,N]$ y $jin[1,N]$, tal que $igeq j$.
Entonces tienes los pares:
$$ overbrace(1,1)^1 par\ overbrace(2,1) (2,2)^2 pares\ vdots\ overbrace(N, 1) (N,2) cdots (N,N)^N pares, $$
y la cantidad de elementos distintos de cero, $E$, es exactamente la cantidad de pares únicos que tiene. Ahora solo tienes que sumar:
$$ E=sumlimits_n=1^Nn=dfracleft(1+Nright)N2 $$
Mi colega (felicitaciones a él) y yo discutimos los paralelos para contar los elementos en un matriz triangular a una combinación.
Dado que no desea incluir la diagonal principal en su conteo, simplemente puede expresar esto como una combinación, ya que desea encontrar todas las combinaciones posibles de 2 elementos (excepto la combinación de un elemento consigo mismo):
$$n elegir k=fracn!k!(nk)!$$
Entonces, para el caso de $k=2$, esto será:
$$fracn!2!(n-2)!$$
…que se reduce muy bien a:
$$fracn!2!(n-2)!$$ $$=frac12!cdotfracn!(n-2)!$$ $$=frac12cdot n(n-1)$$ $$=fracn(n-1)2$$
Para la reducción de $fracn!(n-2)!$ a $n(n-1)$, piensa en:
$$requirecancelar frac4!(4-2)! = frac4cdot3cdot cancel2cdot1cancel2cdot1=12$ PS
…lo que te deja esencialmente con $n(n-1)$.
Esto es similar al resultado de la respuesta de Girardi, con la excepción de omitir todos los elementos de la diagonal principal.
En caso de que su matriz sea triangular inferior, es una matriz cuadrada.
Estoy de acuerdo con el comentario de @copper.hat 37. El número de entradas distintas de cero no es determinista. Siempre que todas las entradas sobre la diagonal principal sean ceros, puede poner un cero donde quiera y, por lo tanto, se puede cambiar.
Por ejemplo para dos 3×3 matrices triangulares inferiores : beginbmatrix 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 endbmatrix beginbmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 endbmatriz
tiene un número diferente de entradas que no son zeors.
Sin embargo, es posible calcular el número mínimo de ceros de una matriz triangular inferior. Para hacerlo solo tienes que entender cómo crece el número de elementos por encima de la diagonal principal, estos deben ser ceros.
Por ejemplo 3×3, 4×4, 5×5:
beginbmatrix 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 endbmatrix beginbmatrix 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0\ 1 & 1 & 1 & 1 endbmatriz
beginbmatrix 1 y 0 y 0 y 0 y 0 \ 1 y 1 y 0 y 0 y 0\ 1 y 1 y 1 y 0 y 0\ 1 y 1 y 1 y 1 y 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 endbmatriz
Si cuenta cuántos ceros (caso mínimo) tiene, obtendrá 3,6,10 respectivamente en las matrices anteriores.
Si este es el caso, se puede extraer un fourmla.
Espero que ayude =]