este problema se puede resolver de variadas formas, pero en este caso te damos la que para nosotros es la respuesta más completa.
Solución:
La pendiente promedio parece una cantidad natural, pero es algo bastante extraño. Por ejemplo, la pendiente promedio de una llanura horizontal plana es cero, pero cuando agrega un poco de ruido aleatorio de promedio cero a un DEM de esa llanura, la pendiente promedio solo puede ir hasta. Otros comportamientos extraños son la dependencia de la pendiente promedio de la resolución del DEM, que he documentado aquí, y su dependencia de cómo se creó el DEM. Por ejemplo, algunos DEM creados a partir de mapas de curvas de nivel están en realidad ligeramente escalonados, con pequeños saltos abruptos donde se encuentran las curvas de nivel, pero por lo demás son representaciones precisas de la superficie en su conjunto. Esos saltos abruptos, si se les da demasiado o muy poco peso en el proceso de promediado, pueden cambiar la pendiente promedio.
Sacar a tema ponderación es relevante porque, en efecto, una media armónica (y otros medios) están ponderando diferencialmente las pendientes. Para entender esto, considere la media armónica de solo dos números positivos X y y. Por definición,
Harmonic mean(x,y) = 1 / ((1/x + 1/y)/2) = x (y/(x+y)) + y (x/(x+y)) = a x + b y
donde los pesos son a = y / (x + y) y b = x / (x + y). (Estos merecen ser llamados “pesos” porque son positivos y suman a la unidad. Para la media aritmética, los pesos son a = 1/2 yb = 1/2). Evidentemente, el peso adjunto a X, igual ay / (x + y), es grande cuando X es pequeña en comparación con y. Por lo tanto, armónico significa sobreponderar el menor valores.
Puede ayudar a ampliar la pregunta. La media armónica pertenece a una familia de medias parametrizadas por un valor real. pag. Así como la media armónica se obtiene promediando la recíprocos de X y y (y luego tomando el recíproco de su promedio), en general podemos promediar las p-ésimas potencias de X y y (y luego tome la 1 / pth del resultado). Los casos p = 1 yp = -1 son las medias aritmética y armónica, respectivamente. (Podemos definir una media para pag = 0 tomando límites y, por lo tanto, obtener la media geométrica como miembro de esta familia también.) Como pag disminuye de 1, los valores más pequeños están cada vez más ponderados; y como pag aumenta a partir de 1, los valores más grandes están cada vez más ponderados. De ello se deduce que la media solo puede aumentar a medida que pag aumenta y debe disminuir a medida que pag disminuye. (Esto es evidente en la segunda figura a continuación, en la que las tres líneas son planas o aumentan de izquierda a derecha).
Tomando una visión práctica del asunto, En cambio, podríamos estudiar el comportamiento de varios medios de pendientes y agregar este conocimiento a nuestra caja de herramientas analíticas: cuando esperamos que las pendientes entren en una relación de tal manera que las pendientes más pequeñas deberían tener más influencia, podríamos elegir una media. con pag menos que 1; y a la inversa, podríamos aumentar pag por encima de 1 para enfatizar las pendientes más grandes. Con este fin, consideremos varias formas de perfiles de drenaje en las proximidades de un punto.
Para mostrar lo que podría suceder, he considerado tres terrenos locales cualitativamente diferentes: uno es donde todas las pendientes son iguales (lo que es una buena referencia); otro es donde localmente estamos situados en el fondo de un cuenco: a nuestro alrededor las pendientes son cero, pero luego aumentan gradualmente y eventualmente, alrededor del borde, se vuelven arbitrariamente grandes. Lo contrario de esta situación ocurre cuando las pendientes cercanas son moderadas pero luego se nivelan lejos de nosotros. Eso parecería cubrir una amplia gama de comportamientos de manera realista.
Aquí hay gráficos pseudo-3D de estos tres tipos de formas de drenaje:
Aquí he calculado la pendiente media de cada uno, con el mismo código de color, en función de pag, dejando pag rango de -1 (media armónica) a 2.
Por supuesto, la línea azul es horizontal: no importa el valor pag asume, la media de un constante la pendiente no puede ser otra cosa que esa constante (que se ha establecido en 1 como referencia). Las altas pendientes alrededor del borde lejano del cuenco rojo influyen fuertemente en las pendientes medias como pag varía: observe qué tan grandes se vuelven una vez pag excede 1. El borde horizontal en la tercera superficie (oro-verde) hace que la media armónica (p = -1) sea cero.
Es de destacar que las posiciones relativas de las tres curvas cambian en p = 0 (la media geométrica): para pag mayor que 0, el cuenco rojo tiene pendientes medias más grandes que el azul, mientras que para pag, el cuenco rojo tiene pendientes medias más pequeñas que el azul. Por lo tanto, tu elección de pag puede alterar incluso el relativo ranking de pendientes medias.
El profundo efecto de la media armónica (p = -1) sobre la forma amarillo-verde debería hacernos una pausa: muestra que cuando hay suficientes pendientes pequeñas en el drenaje, la media armónica puede ser tan pequeña que supera cualquier influencia de todas las demás pendientes.
En el espíritu de un análisis exploratorio de datos, podrías considerar variar pag–quizá dejar que varíe de 0 a un poco más de 1 para evitar pesos extremos– y encontrar qué valor crea la mejor relación entre la pendiente media y la variable que está modelando (como los umbrales de inicialización del canal). “Mejor” generalmente se entiende en el sentido de “más lineal” o “creación constante [homoscedastic] residuales “en un modelo de regresión.
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