Este team de trabajo ha pasado mucho tiempo buscando la solución a tus preguntas, te regalamos la respuesta por esto esperamos resultarte de mucha ayuda.
Solución:
Windows Forms es exclusivo de la [Desktop] plataforma Windows. Ciertamente, no puede usar VSCode para eso, ni siquiera en Windows, ya que VSCode no incluye herramientas de diseño de formularios como el IDE de Visual Studio normal. Entonces, incluso en caso de que pueda compilar, todavía faltan todas las instalaciones necesarias para diseñar.
Puede probar con MonoDevelop para Linux (ver https://en.wikipedia.org/wiki/MonoDevelop)
Editar:
Un año después y parece que el apoyo está llegando. Supongo que no será tan bueno como ejecutarlo en Windows, pero se verá mejor que una aplicación Java: https://github.com/dotnet/winforms
Según el enlace a continuación, VS Code no es compatible con Desktop .NET Framework. Porque VS Code está diseñado para ser multiplataforma. Lo que significa que no puede trabajar con “formularios de Windows”.
https://code.visualstudio.com/docs/languages/csharp
Nota al margen:
Me hacía la misma pregunta mientras codificaba C# en Windows cuando recibí “include System.Windows.Forms” y faltaban referencias de ensamblado.