Este dilema se puede abordar de diversas maneras, pero te compartimos la solución más completa en nuestra opinión.
Solución:
Entonces, usted dice que el cociente de grupo (no topológico) de $mathbbR/mathbbZ$ es topológicamente equivalente (es decir, homeomorfo) al círculo. Sin embargo, esto no tiene ningún sentido a menos que tenga una topología en $mathbbR/mathbbZ$. Más bien, el punto es que un grupo topológico como $mathbbR$ tiene tanto una estructura topológica como una estructura de grupo. Ahora, cuando formas el cociente de grupo $mathbbR/mathbbZ$, se le puede dar un espacio topológico de forma natural, en particular, a través de la topología del cociente. Observe que cuando hacemos esto obtenemos de nuevo un grupo topológico (es decir, las operaciones del grupo de cocientes son continuas con respecto a la topología del cociente). Además, el cociente $mathbbR/mathbbZ$ (como espacio topológico) es homeomorfo al círculo.
Ahora, en el caso de su pregunta, la topología del cociente en $mathbbR/mathbbQ$ es la topología trivial. Esto no es difícil de probar ya que las preimágenes de conjuntos abiertos deben estar abiertas y saturadas. Por lo tanto, si tal preimagen no está vacía, contiene un intervalo abierto y, dado que está saturada, debe contener todos los números reales que difieren en un racional de un punto en este intervalo. Entonces es fácil ver que este conjunto debe ser todo de $mathbbR$. Por lo tanto, los únicos conjuntos abiertos saturados de $mathbbR$ son $emptyset$ y el mismo $mathbbR$. Por lo tanto, la topología del cociente es trivial. Además, es trivial que cualquier aplicación en un espacio con la topología trivial sea continua, por lo que las operaciones de grupo de cocientes en $mathbbR/mathbbQ$ son nuevamente continuas. Así que nuevamente tenemos un grupo topológico, aunque no muy interesante porque no es muy interesante como espacio topológico. En cuanto al “aspecto” de este espacio, es similar a un espacio de un punto por la razón que Ricky mencionó en los comentarios. Sin embargo, no es realmente fácil de visualizar ya que no es homeomorfo a ningún subespacio de $mathbbR^n$ equipado con la topología del subespacio (porque no es Hausdorff, o cualquiera de otras razones).
Editar: debería haber agregado que siempre que tenga un grupo topológico y forme el cociente de la manera que lo hicimos arriba, el resultado siempre es un grupo topológico. Sin embargo, a menos que se cierre el subgrupo normal original, el grupo de cociente resultante ni siquiera será $T_0$ como espacio topológico. Por lo tanto, solo es realmente interesante formar el cociente cuando el conjunto por el cual se obtiene el cociente es cerrado. Esto explica por qué $mathbbR/mathbbZ$ es interesante como grupo topológico, pero $mathbbR/mathbbQ$ no lo es.
Si ignora la topología, es más o menos lo mismo que $mathbf R$.
Observe que $mathbf R$ es un espacio vectorial de $mathfrak c$-dimensional sobre $mathbf Q$, del cual $bf Q$ es un subespacio unidimensional. Tomar el cociente $bf R/bf Q$ en realidad es tomar el cociente de un espacio vectorial $mathfrak c$-dimensional por un subespacio unidimensional, que nuevamente es un espacio vectorial, y sigue siendo $mathfrak c$ -dimensional (porque $1 Eso De Verdad depende de lo que usted piensa acerca de la visualización. El grupo $mathbb Z$ es discreto, por lo que entre dos puntos sucesivos hay una parte que se parece un poco a $mathbb R$. El resultado, si es así, está algo cerca de ser $mathbb R$. Por otro lado, $mathbb Q$ es un denso subgrupo de $mathbb R$. Esto significa que se vuelve mucho más desordenado. No sin una buena razón también, por lo general podemos imaginar cosas que tienen forma, cosas que se pueden medir. Cualquier conjunto de representantes para $mathbb R/mathbb Q$ no poder medirse. Esto te dice que es prácticamente imposible visualizar este cociente en el mismo sentido que imaginaríamos un círculo, una pelota, o incluso si lo intentamos De Verdad duro e imaginamos un espacio de cuatro dimensiones. Además, usando el axioma de elección podemos crear tal conjunto de representantes; sin embargo, sin el axioma de elección, este cociente podría ni siquiera estar ordenado linealmente. Es decir, forma un conjunto que no poder estar linealmente ordenado. Por el contrario, $mathbb R/mathbb Z$ es un círculo, o un intervalo semiabierto (donde identificamos los extremos), incluso sin el axioma de elección. Esto te dice aún más: tú necesidad el axioma de elección para imponer un orden en este conjunto. Solo un orden lineal, ni siquiera un buen orden. Por lo tanto, imaginar esto como un conjunto ordenado linealmente es aún más difícil de lo que creemos al principio. Mi sugerencia es no para tratar de visualizarlo. Acéptalo como un objeto formal que puedes entender hasta cierto punto, pero no ver. Adelante con esto. Eventualmente, después de encontrarse con objetos infinitos ($ell^2$, por ejemplo) y tener éxito en visualizarlos, regrese a este, entonces podría lograrlo. Eres capaz de añadir valor a nuestro contenido asistiendo con tu veteranía en las referencias.