Solución:
$ P (x) = x ^ {101} $ es un polinomio biyectivo de grado $ 101 $. $ Q (x) = x ^ {101} -x ^ 2 $ también es de grado $ 101 $, pero no es inyectivo. Entonces, a menos que haya más en la pregunta, un polinomio arbitrario de grado 101 puede ser biyectivo, pero no todos lo son.
Un polinomio $ P: mathbb {R} to mathbb {R} $ es biyectivo si y solo si $ P ‘(x) $ nunca cambia de signo.
En un lenguaje menos matemático, necesitamos que el polinomio siempre suba o baje siempre, y solo se permite que se nivele momentáneamente.
Teniendo esto en cuenta, es bastante fácil escribir un polinomio de grado impar que sea biyectivo: solo permita coeficientes positivos y términos de grado impar. Por ejemplo, considere $ P (x) = x ^ {101} + 3x ^ {35} + 4x $. Encontrarás que su derivada siempre es positiva.
No es cierto que todos los polinomios biyectivos tengan la forma anterior, ya que también puedes comprobar que $ P (x) = x ^ {101} -x ^ 2 + 10x $ también tiene una derivada positiva en todas partes.
Aunque (como demostró Javier) no todos los polinomios de grado impar son inyectivos, todos son sobreyectiva. Digamos $ p (x) = a_n x ^ n + ldots + a_0 $, donde $ n $ es impar. Entonces, si $ a_n> 0 $, tendremos $ lim_ {x to + infty} p (x) = + infty $ y $ lim_ {x to- infty} p (x) = – infty PS Dado que los polinomios son continuos, tenemos que haber encontrado todo lo que está en el medio en algún punto del camino, por lo que $ p (x) $ es sobreyectivo (si $ a_n <0 $, entonces $ lim_ {x to + infty} p (x) = - infty $ y $ lim_ {x to- infty} p (x) = + infty $). Esto sucede porque a medida que $ left | x right | $ se vuelve grande, el término de grado más alto comienza a contribuir cada vez más en comparación con los otros términos, por lo que eventualmente los abruma y el polinomio simplemente tomará el signo de $ a_n x ^ n $.