Nuestros programadores estrellas agotaron sus reservas de café, en su búsqueda diariamente por la respuesta, hasta que Linda encontró la contestación en Bitbucket y en este momento la comparte con nosotros.
Solución:
He aquí una forma sencilla pero algo computacional. Hay dos pasos. (1) Muestre cómo definir el vector de velocidad angular en términos de matrices de rotación. (2) Escriba una rotación general en términos de ángulos de Euler. (3) Combine (1) y (2) para obtener una expresión para el vector de velocidad angular en términos de ángulos de Euler.
Paso 1. Recuerde que si $ mathbf x (t) $ es la posición de cualquier punto en un cuerpo rígido en rotación, entonces el movimiento de este vector se genera mediante una rotación dependiente del tiempo; begin align mathbf x (t) = R (t) mathbf x (0) end align De ello se deduce que la velocidad de dicho punto en el cuerpo es begin align dot mathbf x (t) = dot R (t) mathbf x (0) = dot R (t) R ^ t (t) mathbf x (t) end align donde aquí, el superíndice $ t $ denota transposición, y en la segunda igualdad, he usado la primera ecuación y el hecho de que para las rotaciones, $ R ^ t = R ^ – 1 $. Si usamos este hecho nuevamente en la forma begin align RR ^ t = I end align y diferenciamos ambos lados con respecto al tiempo, entonces el lado derecho desaparece y obtenemos begin align dot RR ^ t = -R dot R ^ t = – ( dot RR ^ t) ^ t end align Esto muestra que la matriz $ Omega equiv dot RR ^ t $ es antisimétrica, lo que significa que hay tres funciones $ omega_x, omega_y, omega_z $ para las cuales begin align Omega = begin pmatrix 0 & – omega_z & omega_y \ omega_z & 0 & – omega_x \ – omega_y & omega_x & 0 \ end pmatrix end align Resulta que las entradas de esta matriz son precisamente las componentes del vector de velocidad angular $ boldsymbol omega $. De hecho, en muchos tratamientos uno a menudo define begin align boldsymbol omega = ( omega_x, omega_y, omega_z) end align Para convencerte de que esta es la definición correcta de velocidad angular, un breve cálculo muestra que para cualquier vector $ mathbf x $, begin align Omega mathbf x = boldsymbol omega times mathbf x end align De modo que recuperamos begin align dot mathbf x = boldsymbol omega times mathbf x end align de la segunda ecuación anterior, que es una expresión estándar que muestra cómo el vector de velocidad angular genera las velocidades de los puntos en un cuerpo rígido.
Sin embargo, hay una sutileza con la que debemos tener cuidado. Los componentes de la velocidad angular dados en las notas a las que se vincula son los componentes de la velocidad angular en una base que gira con el cuerpo. Si dejamos que $ mathbf e_i $ denote una base no rotatoria, adn $ mathbf u_i $ denote la base que rota con el cuerpo, entonces tenemos $$ mathbf u_i (t) = R (t) mathbf e_i $$ En particular, dado cualquier vector $ mathbf w $, podemos dividir dicho vector en sus componentes en cualquier base $$ mathbf w = w_i mathbf e_i = w_ i, B mathbf u_i $$ entonces los tres- tupla $$ mathbf w_B = w_ i, B mathbf e_i $$ Da los componentes de cualquier vector en la base del cuerpo. Tenga en cuenta que los componentes de un vector en la base del cuerpo se pueden obtener a partir de sus componentes en la base no rotatoria de la siguiente manera. $$ mathbf w_B = R ^ t mathbf w $$ En particular, las componentes de la velocidad angular en la base del cuerpo están relacionadas con sus componentes en la base no rotatoria por $$ boldsymbol omega_B = R ^ t símbolo en negrita omega $$
Paso 2. En realidad, esto ya está hecho en las notas del MIT a las que se vinculó. Es la última ecuación de la tercera página. En la notación de lo que llamé “paso 1”, definimos los ángulos de Euler de la siguiente manera en términos de rotaciones sucesivas que toman los componentes de un vector en la base no giratoria y dan sus componentes en términos de la base del cuerpo $$ R ^ t = R_z ( psi) R_x ( phi) R_z ( phi) $$
Paso 3. Combinamos los pasos 1 y 2 para obtener una expresión para $ boldsymbol omega_B $ que da las componentes de la velocidad angular en la base del cuerpo. Para hacer esto, primero calculamos $ boldsymbol omega $ a partir de $ Omega = dot RR ^ t $ en términos de ángulos de Euler. Luego aplicamos $ R ^ t $ a $ boldsymbol omega $ para obtener $ boldsymbol omega_B $. De hecho, hice esto justo ahora usando Mathematica, y obtuve precisamente el resultado en sus notas vinculadas: begin align omega_ x, B & = dot phi sin theta sin psi + dot theta cos psi \ omega_ y, B & = dot phi sin theta cos psi – dot theta sin psi \ omega_ z, B & = dot phi cos theta + dot psi end align
Supongo que sabe acerca de las matrices de rotación, por lo que para una secuencia de rotaciones sobre ZXZ con ángulos $ phi $, $ theta $ y $ psi $, respectivamente, tiene
$$ vec omega = dot phi hat z + T_1 left ( dot theta hat x + T_2 left ( dot psi hat z derecha) derecha) $$
La lógica aquí es aplicar un giro local de $ dot phi $, $ dot theta $ y $ dot psi $ en los ejes locales de la secuencia.
- Aplicar spin $ dot phi $ sobre la Z local y luego rotar en $ T_1 $
- Aplicar giro $ dot theta $ sobre X local (rotado por $ T_1 $) y luego rotar por $ T_2 $
- Aplicar giro $ dot psi $ sobre la Z local (rotado por $ T_1 T_2 $).
Actualizar
Hay una manera de derivar formalmente lo anterior usando la identidad $ dot T = vec omega times T $ pero está más bien involucrado para 3 grados de libertad.
Para dos grados de libertad, es así. Con una matriz de rotación $ T = T_1 T_2 $ (definida como arriba) la derivada del tiempo es
$$ begin alineado frac rm d T rm d t & = dot T _1 T_2 + T_1 dot T _2 \ & = left (( dot psi hat z) times T_1 right) T_2 + T_1 left (( dot theta hat x) times T_2 right) \ & = ( dot psi hat z) times left (T_1 T_2 right) + (T_1 ( dot theta hat x)) times left (T_1 T_2 right) \ & = left ( dot psi hat z + T_1 ( dot theta hat x) right) times (T_1 T_2) \ & = left ( dot psi hat z + T_1 ( dot theta hat x) right) times T = vec omega times T end alineado \ vec omega = dot psi hat z + T_1 ( dot theta hat x) $$
usando la propiedad distribuida $ T ( vec a times vec b) = (T vec a) times (T vec b) $.
Reseñas y puntuaciones de la guía
Si eres capaz, tienes el poder dejar un enunciado acerca de qué le añadirías a esta división.