Esta duda se puede tratar de diferentes maneras, pero nosotros te enseñamos la que para nosotros es la respuesta más completa.
Solución:
No hablamos de bases covariantes y contravariantes. Empezar con la base $\mathbf e_i$. Entonces se puede escribir un vector general $$mathbf v = v^i mathbf e_i$$
Ahora, si duplica la longitud de un vector base, debe reducir a la mitad la longitud del componente. Se dice que los componentes son contravariantes, porque cambian de forma opuesta a la base. En notación de índice, este vector simplemente se escribe $v^i$y lo llamamos vector contravariante, lo que significa que los componentes son contravariantes.
El producto interior
$$ mathbf u cdot mathbf v = g_iju^iv^j $$ pide la definición $$ u_j = g_iju^i $$
los $u_j$ son componentes de un vector en el espacio dual. Como el producto interno es invariante, los componentes $u_j$ cambian de manera opuesta a los componentes contravariantes, lo que significa que cambian de la misma manera que los vectores base. Se denominan componentes covariantes y nos referimos a ellos como vectores covariantes.
Técnicamente, los vectores contravariantes están en un espacio vectorial y los vectores covariantes están en un espacio diferente, el espacio dual. Pero hay una clara correspondencia 1-1 entre el espacio y su dual, y tendemos a pensar en los vectores contravariantes y covariantes como descripciones diferentes del mismo vector.
tienes una base $bf e_i$ en algún espacio vectorial.
Las componentes contravariantes de un vector $bfv$ son dados por $bf v=v^ibf e_i$como dice Charles Francis.
Los componentes covariantes de un vector $bfv$ son dados por $v_i=mathbf vcdotmathbf e_i$
Creo que esa es una forma más básica de pensar en ellos que entrar en sus propiedades de transformación, aunque eso es, por supuesto, true.
Por cierto, entonces es obvio que $mathbf ucdotmathbf v=sum u_i v^i$ (o $sum u^iv_i$)
Yo diría (aunque los matemáticos no estarían de acuerdo y probablemente rechazarán esta respuesta como herética) que un vector ‘físico’ no es ni covariante ni contravariante. Es una flecha apuntando. Si desea hacer algo útil con él, debe anotar sus componentes, que pueden ser covariantes o contravariantes.
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