este problema se puede abordar de variadas formas, pero nosotros te mostramos la que en nuestra opinión es la solución más completa.
Solución:
Este es un ejemplo típico de punto(s) singular(es) que surgen de la parametrización, se denominan singularidades artificiales.
Para una superficie parametrizada: $S: mathbfr = mathbfr(u,v)$, como dijiste: $$ mathrmIf ;; mathbfr_u times mathbfr_v neq 0, $$ entonces sí es un vector normal (no normalizado) a la superficie $S$. Ahora: $$ frac parcial P(phi, theta)parcial phi times frac parcial P(phi, theta)parcial theta = begin vmatrix mathbfi& mathbfj &mathbfk \ cosphi costheta & cosphi sintheta & -sinphi \ -sin phi sintheta & sinphi costheta & 0 endvmatrix, $$ observe que el producto cruzado es 0 para $phi = 0,pi$, esto sucede debido a la elección de la parametrización. Por ejemplo, si elige el ángulo entre el eje $y$ como el ángulo polar, entonces este punto singular desaparecerá (aunque surge otro), y esto le da una heurística de una de las razones por las que queremos dividir una variedad en piezas y establecer un sistema de coordenadas local…
Para una esfera, la superficie normal es exactamente tu $P(phi,theta)$, ya que la normal es solo el vector desde el origen. Su vector $vec N$ es de hecho normal a la superficie, pero no está normalizado: $$|vec N| = |sin phi cdot vec P| neq1$$ La definición correcta de la superficie normal, junto con el límite $theta to 0$ debería darte el resultado correcto: $$vec N=fracvec a times vec b sqrtvec b$$ Donde: $$vec a = vec P_phi, vec b =vec P_theta$$
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