Contamos con el hallazgo a esta impedimento, al menos eso creemos. Si tienes interrogantes dínoslo, que para nosotros será un gusto ayudarte
Solución:
Aquí hay un ejemplo. Sea $V$ el conjunto de todas las $n$-tuplas de números estrictamente positivos $x_1,ldots,x_n$ que satisfacen $x_1+cdots+x_n=1$. Defina “suma” de tales vectores por
$$ (x_1,ldots,x_n) mathbintext“+text” (y_1,ldots,y_n) = frac(x_1 y_1,ldots,x_n y_n) x_1 y_1 + cdots + x_n y_n . $$
Este es un espacio vectorial cuyo elemento cero es $$ left( frac 1 n , ldots, frac 1 n right). $$ El inverso aditivo de $(x_1,ldots,x_n)$ es $$ fracleft( dfrac 1 x_1, ldots, dfrac 1 x_n right)dfrac 1 x_a + cdots + dfrac 1 x_n. $$ Esta operación está involucrada en una identidad básica en probabilidades condicionales: $$ (Pr(A_1),ldots,Pr(A_n)) mathbintext“+text” kcdot(Pr(Dmid A_1),ldots,Pr(Dmid A_n)) = (Pr(A_1mid D),ldots,Pr(A_nmid D)) $$ donde $k$ es lo que sea necesario para hacer la suma de las entradas $1$. Sin embargo, en la práctica, uno no se molestaría con $k$; simplemente multiplique término por término y luego normalice.
He aquí un ejemplo más práctico. Mire $mathbb R^3$ y diga que quiere poner el punto cero en $vec p = (2,3,7)$. Luego define “suma” de la siguiente manera: $$ vec a mathbintext“+text” vec b = underbracevec p + (vec a – vec p ) + (vec b – vec p)_beginsmallmatrix textEstas son las habituales \ textsumas y restas. endsmallmatrix. $$
Michael Hardy proporciona una muy buena respuesta. Quiero explicar lo que tiene de excepcional.
Si tiene un espacio vectorial (digamos de dimensión finita), una vez que elija una base para ese espacio vectorial y una vez que represente vectores en esa base, el vector cero será siempre sea $(0,0,ldots,0)$. Por supuesto, las coordenadas aquí son con respecto a esa base.
Usualmente describimos elementos de $mathbb R^n$ usando coordenadas que son, por supuesto, las coordenadas de la base más obvia de $mathbb R^n$. Y lo mismo para cualquier subespacio. Así que esta pregunta no surge allí.
Los ejemplos exóticos solo ocurren cuando usa coordenadas que no son realmente autóctonas del espacio vectorial. Las coordenadas pueden tener alguna estructura matemática interesante, pero tendrán una estructura no tienen es la estructura del espacio vectorial que están representando. Llamarlos “coordenadas” es casi una mentira, ya que no actúan como coordenadas de espacio vectorial en absoluto, por ejemplo, $(0,0,ldots,0)$ no es el vector cero.
En los libros de texto de álgebra lineal, a veces se encuentra el ejemplo $V = (0, infty)$, el conjunto de reales positivos, con “suma” definida por $$ u oplus v = uv $$ y “multiplicación escalar” definida por $ $ c odot u = u^c. $$ Es sencillo mostrar que $(V, oplus, odot)$ es un espacio vectorial, pero el vector cero (es decir, el elemento de identidad de $oplus$) es $1$.
(El placer de “reetiquetar” este ejemplo para que parezca un espacio más familiar se deja como ejercicio).
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